Równania różniczkowe Jola: Wykorzystać metodę przewisywań do rozwiazania równań y'''−y''=6x+e⁽−x) y'''−y''+4y'−4y=sinx+xe^x

Mariusz: W pierwszym równaniu dla wielomianu przewidujesz y_s=x²(Ax) a dla funkcji wykładniczej przewidujesz y_s=Be^−x Przewidywania sumujesz aby dostać całkę szczególną W drugim równaniu dla funkcji trygonometrycznej sprawdzasz ilukrotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego jest λ=i a dla tego drugiego składnika sprawdzasz ilukrotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego jest λ=1

Jola: dla czego w pierwszym równaniu przewidujemy x²? Czy moge prosić o rozpisanie rozwiązania do drugiego równania? Chociaż początek..

Mariusz: λ=0 jest pierwiastkiem podwójnym równania charakterystycznego λ³−λ²+4λ−4=0 λ²(λ−1)+4(λ−1)=0 (λ−1)(λ²+4)=0 Dla funkcji trygonometrycznej przewidujesz y_s=(Acos(x)+Bsin(x)) Dla pozostałego składnika przewidujesz y_s=x(Cx+D)e^x Ostatecznie całka szczególna będzie sumą tych przewidywań y_s=(Acos(x)+Bsin(x))+x(Cx+D)e^x

Mariusz: W pierwszym równaniu całka szczególna będzie postaci y_s=x²(Ax+B)+Ce^−x

Jola: Dlaczego dla niektórych funkcji trygonometrycznych przewidujemy Acos(x)+Bsin(x), a dla innych Axcos(x)+Bxsin(x)? Dla y"−4y'+4y'=cosx−2ex²x, czyli przewiduję Asin(x)+BCos(x)− Ax²e²x?

Jola: Dlaczego dla niektórych funkcji trygonometrycznych przewidujemy Acos(x)+Bsin(x), a dla innych Axcos(x)+Bxsin(x)? Dla y"−4y'+4y'=cosx−2 e^2x czyli przewiduję Asin(x)+BCos(x)− Cx² e^2x?

Mariusz: To zależy czy λ=i jest pierwiastkiem równania charakterystycznego a jeśli jest to od krotności tego pierwiastka Dlatego ja wolę uzmiennianie stałych Jeśli chodzi o równanie jednorodne to zamiast równania charakterystycznego można zapisać je w postaci układu równań i rozwiąć je metodą macierzową

Jola: Ok, czyli jak dobrze rozumiem to jeżeli pierwiastki wyjdą i,−i lub 2i,−2i, lub 3i,−3i itd to będzie x(Acos(x)+ bsinx) dla lu. x(acos(2x)+b(sin3i)? Czy to drugie równanie jest dobrze przeqidziane powyzej?