x * y = ax +by + cxy igor: Mikołaj wybrał trzy liczby rzeczywiste a, b, c i określił działanie * wzorem x * y = ax + by + cxy dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y. Obliczył 1 * 2 = 3 i 2 * 3 = 4 oraz zauważył , że istnieje niezerowa liczba rzeczywista t taka, że x * t = x dla każdej liczby rzeczywistej x. Wyznacz t.

Adamm: x=ax+bt+cxt dla każdego x, czyli mamy równość wielomianów względem zmiennej x czyli bt=0 oraz 1=a+ct skąd b=0 teraz można podstawić poprzednie do działania i wyznaczyć a, c i na końcu t z tego że 1=a+ct

kochanus_niepospolitus: 1 * 2 = 3 2 * 3 = 4 no to lecimy: 3 = a*1 + b*2 + c*1*2 ⇔ 3 = a + 2b + 2c 4 = a*2 + b*3 + c*2*3 ⇔ 4 = 2a + 3b + 6c czyli: 4a + 8b + 8c = 6a + 9b + 18c −> 2a + b + 10c = 0 −> b = −10c − 2a 3 = a + 2*(−10c − 2a) + 2c ⇔ 3 = −3a −18c ⇔ a = −6c − 1 więc mamy: a = −6c − 1 b = 2c + 2 c = c x * t = x ⇔ x = (−6c−1)x + (2c+2)t + cxt ⇔ 0 = (ct −6c − 2)x + (2c+2)t aby to było spełnione dla DOWOLNEGO x to: 1) ct −6c − 2 = 0 2) (2c+2)t = 0 ⇔ c = −1 lub t = 0 (ale t miało być ≠ 0) ... czyli c = −1 więc: (−1)t − 6(−1) − 2 = 0 ⇔ −t + 6 − 2 = 0 ⇔ t = 4 a więc ostatecznie: c = −1 b = 0 a = 5 t = 4 sprawdzamy: 1 * 2 = 5*1 + 0 −1*1*2 = 5 + 0 − 2 = 3 oki 2 * 3 = 5*2 + 0 −1*2*3 = 10 + 0 − 6 = 4 oki x * t = 5x + 0 −1*x*4 = 5x − 4x = x oki

igor: skąd wzięło się 4a + 8b + 8c = 6a + 9b + 18c ...?

kochanus_niepospolitus: pierwsze równanie *4 .... drugie równanie *3 i przyrównujesz do siebie (bo po przemnożeniu oba są równe 12)

igor: dzięki