zadanie Krzyś: Czy istnieją liczby x₁, x₂, x₃, . . . , x₁₀₀₁ równe (−1) lub 1 takie, że: x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₄ + . . . + x₁₀₀₀x₁₀₀₁ + x₁₀₀₁x₁ = 499?

Krzyś: help

krzyś:

Adamm: x_ix_j=1 ⇔ x_i+x_j=2 x_ix_j=−1 ⇔ x_i+x_j=0 wniosek x_ix_j=x_i+x_j−1 (x₁+x₂)+(x₂+x₃)+...+(x₁₀₀₁+x₁)−1001=499 x₁+...+x₁₀₀₁=750 teraz widać że = 1 mogą być tylko pierwsze k, i nie zmieni to ogólności k−(1001−k)=750 2k=liczba nieparzysta sprzeczność

Adamm: nie spam człowieku

Adamm: błędne rozwiązanie

krzyś:

Adamm: x_ix_j=x_i+x_j−1 ale tylko jeśli x_i, x_j nie są oba = −1 jeśli tak jest, to x_ix_j=x_i+x_j+3 i tu mam błąd

krzyś:

kochanus_niepospolitus: krzyś ... kuźwa ... opanuj się trochę

krzyś: to rozwiąż to ktoś

kochanus_niepospolitus: A co my jesteśmy? Caritas ? Poczekaj cierpliwie, a nie zachowujesz się jak kolejny rozpieszczony bachor, który wyznaje zasadę: "daj daj daj ... bo mi się należy". Na jakim poziomie nauczania jesteś? Związku z jakimi lekcjami (jakim tematem) masz takie zadanie?

krzyś: ile można czekać, już 55 minut czekam

adam:

krzysiek:

Pytający: Nie istnieją.

Adamm: owsiki normalnie

kochanus_niepospolitus: no i po tych 30 min zrobiłeś jedno 'przypomnienie'. Minutę później kolejne (niepotrzebnie). Później 4 minuty później kolejne (jak już do zadania podszedł Adamm) −−− już zupełnie niepotrzebnie (bo powinieneś widzieć, że 'rozwiązanie' − nie dobre jak się później okazało − było). Później 4 minuty później kolejne. Na cholerę to robiłeś? Zastanów się trochę nad sobą ... szczerze mówiąc, w tym momencie jestem daleki od dania Ci chociażby wskazówki jak wykazać, że takie liczby istnieć nie będą..

krzyś: dziękuje i przepraszam

krzyś: sam już zrobiłem

krzyś: nie przepraszam xd

krzyś: A wyślesz?

krzyś: co wyślę?

krzyś: rozwiązanie

5-latek: krzyś wali ci na możdzek ? jesli tak to idz umyj glowe zimną wodą

Adamm: załóżmy że dla x_i∊{−1, 1}, i∊{1, ..., 1001} mamy x₁x₂+x₂x₃+...+x₁₀₀₁x₁=499 (x₁+...x₁₀₀₁)²=x₁²+...+x₁₀₀₁²+998=1999 1999 nie jest kwadratem liczby całkowitej rozwiązanie banalne

krzyś: dziękuję

Adamm: problem w tym że to co napisałem nie do końca jest prawdą oprócz sum kwadratów wyrażeń x_i mamy jeszcze 2x₁x₂ itd. ale oprócz tego też mamy np. 2x₁x₃ i inne

krzyś: no to znowu źle jest

krzyś: a tak moze byc? drugi przypadek: x_ix_j=x_i+x_j+3 (x₁+x₂)+(x₂+x₃)+...+(x₁001+x₁)+3*1001=499 x₁+...+x₁001=−1252 ... co nie ma rozwiazan

Adamm: nie bo nie dla każdej pary musi być x_ix_j=x_i+x_j+3

krzyś: a faktycznie

krzyś: no ale modulo 2 liczby xi+xj+3 i xi+xj−1 są takie same więc jak rozpatrzymy obie strony równani modulo 2 to będzie dobrze

Adamm: to nam nic nie daje

Adamm: zamiast modulo 2, rozpatrujmy modulo 4 x_ix_j=1 to x_i+x_j=±2 −2≡2 mod 4 czyli x_ix_j≡x_i+x_j+1 mod 4 2(x₁+x₂+...+x₁₀₀₁)−1001 ≡ 3 mod 4 teraz już kolejność jest nieważna przystawać do 1 mogą tylko pierwsze k 2(k−(1001−k))−1 ≡ 3 mod 4 1 ≡ 3 mod 4 sprzeczność

Adamm: x_ix_j≡x_i+x_j−1 mod 4

krzyś: x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₄ + . . . + x₁₀₀₀x₁₀₀₁ + x₁₀₀₁x₁ = 499

(x1+x2)2−x12−x22+...+(x1001+x1)2−x10012−x12
	=499
2

(x₁+x₂)²+...+(x₁₀₀₁+x₁)²=3000 może z tym coś dalej?

Adamm: to już chyba wersja ostateczna, dzięki za pomysł z porównywaniem reszt

krzyś: jeszcze moźe być x_i+x_j=0

Adamm: jeśli x_j+x_j=0 to x_ix_j=−1 i nadal zachodzi x_ix_j≡x_i+x_j−1 (mod 4)

Pytający: Aby to równanie miało rozwiązanie, 750 z tych iloczynów musiałoby równać się 1 i 251 tych iloczynów musiałoby równać się −1. Stąd można wywnioskować, że zarówno 1, jak i −1 musiałaby wystąpić nieparzystą liczbę razy. Jednak jak wiadomo każde x_i występuje w 2 iloczynach, więc liczby ±jedynek są parzyste. Sprzeczność.

Adamm: co rozumiesz przez "muszą wystąpić nieparzystą liczbę razy"

krzyś: Skąd wniosek, że zarówno 1, jak i −1 musiałaby wystąpić nieparzystą liczbę razy?

Adamm: faktycznie Pytający, dobre rozwiązanie

Adamm: 750 iloczynów równych 1 czyli od każdego z nich dostajemy albo 2 liczby = −1 albo 2 = 1 w każdym razie liczba −1 oraz 1 jest parzysta (patrząc na same iloczyny = 1) 251 iloczynów równych −1 czyli od każdego z nich dostajemy jedną = 1 oraz jedną = −1 w każdym razie mamy nieparzystą liczbę jedynek i minus jedynek