Znaleźć wartości i wektory własne przekształceń liniowych: Adam: Znaleźć wartości i wektory własne przekształceń liniowych: (a) L : R² −→R², F (x, y) = (x + y, 2x + 2y) ; (b) L : R³ −→R³, F (x, y, z) = (−x, 5x + y, y − 2z) ; Może mnie ktoś jakoś pokierować? Umiem to liczyć gdy mam podaną macierz ale tego typu widzę pierwszy raz i mam dylemt.

Adamm: F(x, y)=k*(x, y), k≠0 x+y=kx 2x+2y=ky stąd y=2x F(x, 2x)=3*(x, 2x) mamy wartość własną 3 oraz wektor własny = (1, 2)

Adamm: i dla k=0 y=−x mamy F(x, −x)=0*(x, −x) czyli wartość własna = 0 i wektor własny = (1, −1)

Adamm: b) F(x, y, z)=k*(x, y, z) −x=kx 5x+y=ky y−2z=kz z pierwszego x=0 lub k=−1 niech k=−1 5x+2y=0 y=z mamy wektor (2x, −5x, −5x) F(2x, −5x, −5x)=(−1)*(2x, −5x, −5x) wartość własna = −1 i wektor własny = (2, −5, −5) teraz k≠−1 w takim razie x=0 y=ky czyli y=0 lub k=1 niech k=1 y=3z F(0, 3x, x)=(0, 3x, x) czyli mamy wektor (0, 1, 3) i wartość własną = 1 teraz niech k≠1 x=0, y=0 zatem −2z=kz skąd k=−2 bo z=0 już być nie może F(0, 0, x)=(0, 0, −2x) czyli wektor = (0, 0, 1) i wartość własna = −2

Adam: skąd mamy ten wektor: (2x, −5x, −5x)?

Adam: i jak z pierwszego x moze być=0? Chodzi od podpunkt b)