Liniowa niezależność
ktoś: Liniowa niezależność
Określ czy zbiór wektorów {x1 +x2,x2 +x3,...,xn−1 +xn,xn +x1} jest liniowo niezależny,
jeśli zbiór {x1,x2,x3,...,xn } jest liniowo niezależny
14 sty 17:42
kochanus_niepospolitus:
no i jak obstawiasz ?
14 sty 17:46
kochanus_niepospolitus:
zauważ, że:
niech n=4
{x
1,x
2,x
3,x
4} jest liniowo niezależny
a jaki będzie:
{x
1+x
2, x
2+x
3, x
3+x
4, x
4+x
1}
zauważmy, że:
(x
1 + x
2) −(x
2+x
3) +(x
3+x
4) −(x
4+x
1)
= 0
czyli mamy liniową zależność
natomiast jeżeli n=5 to mamy wtedy:
(x
1 + x
2) −(x
2+x
3) +(x
3+x
4) −(x
4+x
5) +(x
5+1) = 2x
1
czyli jesteśmy w 'przejść' do wektorów ze zbioru: {x
1,x
2,x
3,x
4,x
5}, które jak wiemy są
liniowo niezależne
14 sty 17:52
ktoś: Z podstawianiem x−ów tutaj raczej nic nie zdziałamy.
Więc zapewne trzeba coś zauważyć.
Wiemy, że żaden wektor x1,x2,... nie może zostać przedstawiony za pomocą kombinacji liniowych
innych wektorów.
Mając zbiór {x1+x2, x2+x3, ... , xn−1+xn, xn+x1}
Czyli musimy sprawdzić czy jakiś wektor (przykładowo x2+x3) nie może zostać przedstawiony
za pomocą innych wektorów
x2+x3 = a1*(x1+x2) + ... + a{n−1)*(xn−1+xn) + an*(xn+x1)
Przestawiając x3 na prawą stronę mamy
x2 = a1*(x1+x2) + ... + a{n−1)*(xn−1+xn) + an*(xn+x1) − x3
Czyli po mnożeniach otrzymamy x1, x2, ..., xn z różnymi współczynnikami obok siebie,
czyli jakby (a nawet nie jakby) kombinacje liniowe zbioru {x1,x2,x3,...,xn }, który wiemy, że
jest niezależny.
Dobrze? I czy jak dobrze to czy tyle wystarczy
14 sty 17:57
ktoś: Coś dziwne znaczki się pojawiły w jednej linijce. Przestawiając x3 na prawą stronę mamy
x2 = a1*(x1+x2) + ... + (xn−1+xn) + an*(xn+x1) − x3
14 sty 17:59
ktoś: Czyli jak n = parzyste to jest liniowo zależny, a jak n = nieparzyste to niezależny?
14 sty 18:07
ktoś: Bump
14 sty 18:45
kochanus_niepospolitus:
na to wychodzi
14 sty 19:12
ktoś: To w sumie nie wiem co w tej mojej długiej wypowiedzi nie "pykło", że doszedłem do tego, że
jest liniowo niezależny xd
14 sty 19:15