Algebra abstrakcyjna Całkowy: Algebra abstrakcyjna − w imieniu grupy proszę o ratunek przed kolokwium. Do zadań nie otrzymaliśmy treści, podobnych przykładów wcześniej nie liczyliśmy, nie wiemy co oznacza ≅ i f | [0,1] Pomimo dużej porcji teorii z powodu tylu niewiadomych poniższe przykłady to dla nas abstrakcja i nie jesteśmy w stanie sobie z nimi poradzić. Z góry dziękujemy za pomoc z którymkolwiek z nich. (1) (ℤ6, +) ≅ (ℤ₂ × ℤ₃, +) φ: (a,b) ↦ 3a + 4b (mod 6) φ: ℤ₂ × ℤ₃ ↦ ℤ6 (2) φ: ℤ ↦ ℤ₅ ∀(λ∈ℤ) φ: λ ↦ λ (mod 5) Ker(φ) = 5ℤ = {..., −10, −5, 0, 5, 10, ...} (3) C[0,1] ≅ C[0,3], C[0,1] = {f: [0,1] ↦ F: funkcja ciągła} φ: f ↦ f○g , g(x) = x/3 (4) φ − epimorfizm φ: f ↦ f | [0,1] φ: C[0,2] ↦ C[0,1] (5) Grupa pierwiastków z 1 st. 5 z mnożeniem jest izomorficzna z grupą obrotów 5∢ czegoś (funkcji?)

Basia: może tu coś wyczytacie https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_mathematical_symbols

Basia: ≅ to zdaje się oznacza,że obiekty są izomorficzne

Basia: a może tylko homomorficzne, nie jestem pewna

Basia: jednak izomorficzne

Basia: to pierwsze jest rozwiązane opisana tam funkcja jest izomorfizmem, co łatwo sprawdzić φ(0,0)=3*0+4*0=0=0(mod6) φ(0,1)=3*0+4*1=4=4(mod6) φ(0,2)=3*0+4*2=8=2(mod6) φ(1,0)=3*1+4*0=3=3(mod6) φ(1,1)=3*1+4*1=7=1(mod6) φ(1,2)=3*1+4*2=11=5(mod6) więc jest to izomorfizm, bo jest "na" i jest wzajemnie jednoznaczny czyli Z₆ i Z₂xZ₃ są izomorficzne

Basia: to chyba nie są zadania do rozwiązania tylko przykłady do przyswojenia

Basia: (2) φ: ℤ ↦ ℤ₅ ∀(λ∈ℤ) φ: λ ↦ λ (mod 5) Ker(φ) = 5ℤ = {..., −10, −5, 0, 5, 10, ...} φ jest homomorfizmem określonym następująco: Z i Z₅ to, jak sądzę, grupy z dodawaniem φ(x) = x(mod5) Ker(φ) to jądro homomorfizmu czyli przeciwobraz elementu neutralnego, czyli φ⁻¹(e) czyli tutaj φ⁻¹(0) każda wielokrotność liczby 5 = 0(mod5) czyli Ker(φ) = {5k: k∊Z} = {.....−20,−15,−10,−5,0,5,10,15,20,............}

Basia: 3) C[0,1] ≅ C[0,3], C[0,1] = {f: [0,1] ↦ F: funkcja ciągła} φ: f ↦ f○g , g(x) = x/3 C[0,1] oznacza zbiór wszystkich funkcji ciągłych określonych na przedziale [0;1], C[0,3] oznacza zbiór wszystkich funkcji ciągłych określonych na przedziale [0;3] istnieje izomorfizm przekształcający C[0,1] na C[0,3] funkcjonał φ działa tak: φ(f) = f○q gdzie g(x)=x/3 φ jest izomorfizmem 1. φ(f₁)=φ(f₂) ⇔ f₁○g=f₂○g ⇔ f₁=f₂ 2. jest "na" bo dla dowolnego F∊C[0,3] φ⁻¹(F)= F*3 czyli C[0,1] ≅ C[0,3]

Basia: (4) φ − epimorfizm φ: f ↦ f | [0,1] φ przyporządkowuje funkcji f tę samą funkcję f "obciętą" do dziedziny [0,1] φ: C[0,2] ↦ C[0,1] sądzę, że należy wykazać, że φ jest epimorfizmem albo wykazać, że φ przekształca C[0,2]→C[0,1] w (5) nie wiem zupełnie o co chodzi

Basia: w(3) jest błąd, a nawet dwa ma być: istnieje izomorfizm przekształcający C[0,3] na C[0,1] funkcjonał φ działa tak: φ(f) = f○q gdzie g(x)=x/3 2. jest "na" bo dla dowolnego F∊C[0,1] φ−1(F)= F○G gdzie G(x)=3x