Macierz przekształcenia liniowego. Zmiana bazy. ktoś: Macierz przekształcenia liniowego. Zmiana bazy. Hej czy byłby ktoś w stanie mi to wytłumaczyć? Przyjmując, że A jest macierzą liniowego przekształcenia F w S. Znajdź macierz B liniowego przekształcenia w R A = [1 1] [1 2] S={(1,1),(1,2)}, R={(1,0),(0,1)} Oryginalna treść: "Assuming that A is the matrix of a linear operator F in S find the matrix B of F in R:"

Adamm: czy to nie jest przypadkiem przekształcenie tożsamościowe

ktoś: Powiem szczerze, że nie mam pojęcia. Wcześniejsze zajęcia z algebry rozumiałem i się zgłaszałem nawet, a tu nagle takie zadania i miałem wrażenie, że oprócz wykładowcy nikt nie miał pojęcia o co chodzi

ktoś: Jak ktoś byłby w stanie wytłumaczyć sposób rozwiązywania (nawet w punktach samych) to byłbym wdzięczny

jc: Aby mieć macierz przekształcenia, musisz mieć dwie bazy: bazę dziedziny i bazę przeciwdziedziny. Spróbujmy tak zinterpretować zadanie. A = macierz przekształcenia R² →R², jeśli przyjmiemy jako bazę R² bazę S. B = macierz przekształcenia R² →R², jeśli przyjmiemy jako bazę R² bazę R.

	1 1		1 1		1 2
F		=		+

	1 2		1 1		1 2
F		=		+ 2

	1 0		1 1		1 2		1 1		1 2		1 1		1 2		1 1		1 2		5 9
F		=F[2		−		]=2[		+		]−[		+2		]=		+4		=

	0 1		1 2		1 1		1 1		1 2		1 1		1 2		1 2
F		=F[		−		]=[		+ 2		]−[		+		]=

	5 1 9 2
B=

ktoś: Dzięki. Zaraz postaram się przeanalizować

ktoś:

	1 0		1 1		1 2
F		= F[2		−		]

Skąd to się wzięło :?

ktoś: Chyba już rozumiem.

ktoś: Robiłem na wzór sposobu 1. ze strony https://duch.mimuw.edu.pl/~m_korch/pl/8-matrix-of-a-linear-map/ I wyszło mi

	2 3 3 5
B=

Czy to możliwe, że są dwa różne poprawne wyniki?

	1 1		1 1		1 2		2 3
F		=		+		=

	1 2		1 1		1 2		3 5
F		=		+ 2		=

	2 3		1 0		0 1
F		= 2		+ 3

	3 5		1 0		0 1
F		= 3		+ 5

I z tego otrzymałem wyżej podane B. Co robię źle?

jc: Wyznaczyłeś macierz przekształcenia wybierając bazę S w dziedzinie i R w przeciwdziedzinie. Ja po obu stronach wybrałem R. Stąd różnica.

ktoś: Czyli oba są Ok? Czy to co ja zrobiłem jest niezgodne z treścią i samym zadaniem? xd

ktoś: Ok chyba widzę, ze to co zrobiłem to nie jest to o co jesteśmy proszeni. W takim razie. Jeśli byłbyś w stanie wytłumaczyć skąd się bierze 3 i 4 linijka w twoich obliczeniach to byłbym wdzięczny.

ktoś: Hej JC. Robiłem te zadanie teraz metodą M_R = M_R(id)^S*M_S(F)*M_S^R(id) I jednak wychodzi mi dalej inny wynik. M_R^S(id)= 1 1 1 2 Potem M_S^R(id) = [M_R^S(id)]⁻¹ = 2 −1 −1 1 I podstawiając do wzoru z początku: [1 1] * [1 2] * [2 −1] [1 2] [1 2] [−1 1] = [1 1] [1 2] Co nie zgadza się z twoim wynikiem.

jc: Masz rację, coś pomyliłem. Teraz masz dobrze, W przypadku 3x3 zaproponowałem taki właśnie sposób. Ale tak, jak liczyłem, oczywiście też wychodzi.

	1 1		2 3
F		=

	1 2		3 5
F		=

	2 3		3 5		1 1
F{1}{0}=2		−		=

	3 5		2 3		1 2
F{0}{1}=		−		=

W zdaniu sytuacja jest o tyle ciekawa, że Macierz F jest taka sama, jak macierz zmiany bazy, w związku z tym, nie zmienia się.

jc:

	1 0		0 1
Oj, tam miało być F		i F		.

Zwróć uwagę, że nic nie musisz liczyć.

1 1 1 2	1 1 1 2	1 1 1 2		1 1 1 2
			−1=

Powyżej pomyliłeś jedną cyfrę.

ktoś: A z tym, że nie trzeba liczyć to w sumie ciekawe spostrzeżenie Dzięki