Jądro macierzy ktoś: Umiem wyznaczyć jądro zwykłymi układami równań, ale z rozwiązaniem tego za pomocą macierzy mam problem ze zrozumieniem... (x,y,z) −> (x+y, x+y, x+2y−z) ker F = {(x,y,z)∊R3: F(x) = 0} czyli [ x+y ] [0] [ x+y ] = [0] [x+2y−z] [0] Mogę to rozpisać na wektroy x(1,1,1) + y(1,1,1) + z(0,0,−1) = (0,0,0) ale co mi to da? I jak to teraz robić?

jc: Kiedy dwa wektory są równe? Masz do rozwiązania jednorodny układ równań. x+y=0 x+y=0 x+2y−z=0 czyli x+y=0 x+2y−z=0 x+y=0 y−z=0 x = t, parametr y=−t z=−t Jądrem jest jednowymiarowa podprzestrzeń R³ z wektorem bazowym (1,−1,−1).

Ktoś : No tak to jest układem równań i to umiem. Ale nie da się tego zrobić jakos na samych macierzach? Użytkownik Pytający pokazał mi wczoraj jedna metoda z transponowana macierzą, ale wciąż nie rozumiem skąd transponowanie się tam wzięło, Wiec szukam sensu tego

Godzio: Macierz: 1 1 0 1 1 0 1 2 −1 Dwa pierwsze wiersze są takie same, jeden wykluczamy 1 1 0 1 2 −1 Odejmujemy w₂ − w₁ 1 1 0 0 1 −1 Odejmujemy w₁ − w₂ 1 0 1 0 1 −1 I otrzymaliśmy równanie x + z = 0 y − z = 0 czyli x = −z y = z z ∊ R

g: Można to sformułować macierzowo, ale to nie pomaga w obliczeniach. F(X) = A*X (A macierz 3x3, X=[x,y,z]) szukasz wartości własnych A. Jeśli któraś jest równa zero, to odpowiadający jej wektor własny jest wektorem bazowym jądra.

ktoś: Mhm. A obraz w takim razie jak wyznaczyć? Są to wszystkie możliwe otrzymane wyniki po przekształceniu tak?

ktoś: Ok mam coś takiego co sie zgadza z odpowiedziami [x + y] [x + y] [x+2y−z] to daje x(1,1,1) + y(1,1,1) + z(0,0,−1) ImF = span((1,1,1),(1,1,2),(0,0,−1)) Jednak są to wektory liniowo zależne więc możemy ostatecznie zapisać to w postaci W tym sposobie chodzi o to, że mamy zmienny x,y,z, które mogą się zmieniać tak? I wszystkimi możliwymi rozwiązaniami będą wszystkie możliwe kombinacje liniowe tych wektorów z ImF?

g: Masz rację https://pl.wikipedia.org/wiki/Obraz_i_przeciwobraz