rownania rozniczkowe Monika: Czy dobrze rozpoznałam te równania rozniczkowe? 1. y'√x=y3 o rozdzielnych zmiennych 2.y'(1+x2)+y=arctgx liniowe niejednoodne 3.y'√1−x2=3√y o rozdzielnych zmiennych 4. y'−(y/x)=8x2 liniowe niejednoodne 5. y' √x3=1+y2 o rozdzielnych zmiennych 6. y2+x2y'=xyy' liniowe niejednoodne

Mariusz: 1 dobrze 2 dobrze 3 dobrze 4 dobrze 5 dobrze 6 źle (równanie jednorodne , sprowadzalne do rozdzielonych zmiennych)

Monika: Dziękuję bardzo

Monika: Jak w 6 rozdzielić zmienne? Niestety nie wychodzi mi

Mariusz: Jest jednorodne więc stosujesz podstawienie rozdzielające zmienne y=ux

Monika: Tak właśnie zrobiłam. u2 x2 + x2 (du/dx *x + u) = x2 *u (du/dx *x +u) Niestety nie wychodzi mi uporzadkowanie tego.

Mariusz: u² x² + x² (du/dx *x + u) = x² *u (du/dx *x +u) u² + (du/dx *x + u) = u (du/dx *x +u)

	du		du
u2+x		+u=ux		+u2
	dx		dx

	du		du
x		+u=ux
	dx		dx

	du		du
ux		−x		=u
	dx		dx

	du
x(u−1)		=u
	dx

	u−1	du
x			=1
	u	dx

u−1		dx
	du=
u		x

Monika: ln |u/u²| = ln|x|+C C=ln(c1) ln |u/u²| = ln |x*c1| xc1=1/u=x/y 1/y=c1 y=(c1)⁻1 y=(c1(x))⁻1 y'=(−c1(x))'/c1²(x) w równaniu niejednorodnym wstawia się y oraz y' do dzialania y'+y*g(x)=0 A w tym przypadku?

Monika: Wstawić do to głownego działania y2+x2y'=xyy' ?

Mariusz: Po obustronnym scałkowaniu i powrocie do poprzedniej zmiennej masz całkę ogólną równania w postaci uwikłanej Możesz z postaci uwikłanej wyznaczyć x(y) za pomocą funkcji elementarnych Wyznaczynie funkcji y(x) będzie wymagało znajomości pewnej funkcji nieelementarnej

u−1		dx
	du=
u		x

	1		dx
(1−		)du=
	u		x

u−ln|u|=ln|x|+C u−ln|u|−ln|x|=C u−ln|ux|=C

y
	−ln|y|=C
x

Jest to równanie jednorodne ale nie jest liniowe więc nie uzmienniamy stałej itp Z całki ogólnej można wyznaczyć funkcje x(y) za pomocą funkcji elementarnych

y
	−ln|y|=C
x

y
	=C+ln|y|
x

x		1
	=
y		C+ln|y|

	y
x=
	C+ln|y|

Odwrócenie tej funkcji wymagałoby znajomość pewnej funkcji nieelementarnej