Ekstremum Michal: Dlaczego przy liczeniu ekstremum lokalnego funkcji czasem liczymy pierwsza pochodna i wyznacza my jej miejsca a czasem wyznacza my pochodna drugiego stopnia i dopiero jej miejsca zerowe liczymy? Od czego to zależy?

Basia: jeżeli wyznaczamy ekstrema liczymy pierwszą pochodną i jej m.zerowe druga pochodna służy do badania wklęsłości i wypukłości; jej m.zerowe mogą być punktami przegięcia

Michal:

	2ln2x
Miałam zadanie: 5x e5x−1 i
	3x

Zadbanie to wyznaczyć ekstremum. W pierwszym była liczona pierwsza pochodna a w drugim druga więc co z czego wynika ta różnica?

Basia: z bałaganu w poleceniach

Basia: czasami, gdy trudno określić znak pierwszej pochodnej, druga może trochę pomóc musiałabym przeliczyć żeby mieć pewność

Basia: x>0

	1   2*2ln(x)* *3x − 3*2ln2(x)   x
f'(x) =		=
	9x2

12lnx−6ln2x		6lnx(2−lnx)		2lnx(2−lnx)
	=		=
9x2		9x2		3x2

nie widzę żadnego problemu z wyznaczeniem miejsc zerowych i określeniem znaku pochodnej,co całkowicie wystarcza do policzenia ekstremów lokalnych druga pochodna nie jest mi do niczego potrzebna jeżeli tylko ekstrema mam znaleźć

kochanus_niepospolitus: Michał ... musisz zdać sobie sprawę z tego że: NIE KAŻDE miejsce zerowe pierwszej pochodnej jest ekstremum funkcji f(x) ... może to być (te miejsce zerowe pierwszej pochodnej) punktem przegięcia. Jednak w tym przypadku (w tej funkcji) nie było tego problemu. Taki problem miałbyś np. dla f(x) = x³

Basia: chyba już wiem o co chodzi to zależy od naszych chęci i upodobań jest bowiem metoda wyznaczania ekstremów bez badania znaku pierwszej pochodnej (rzadko stosowana dla funkcji jednej zmiennej, zupełnie o niej nie pomyślałam) jeżeli f'(x₀)=0 i f"(x₀)<0 ⇒ maksimum lokalne jezeli f'(x₀)=0 i f"(x₀)>0 ⇒ minimum lokalne

Basia: i trzeba pamiętać, że f'(x₀)=0 i f"(x₀)=0 nie rozstrzyga może być ekstremum (np.dla y=x⁴ w p−cie x₀=0), może nie być (np. dla y=x³ w pcie x₀=0)

kochanus_niepospolitus: tak naprawdę rozstrzyga dopiero fⁿ(x_o) = 0 ∧ fⁿ⁺¹(x_o) ≠ 0 i w zależności czy n to pochodna parzysta, czy nieparzysta wtedy będziemy mieli w punkcie x₀ punkt przegięcia bądź ekstremum lokalne.