Matematyka dyskretna Darek: Cześć Otóż mam do rozwiązania to zadanie o takiej treści. W pierścieniu z₁5 rozwiąż równanie 6x=9. Zrobiłem to tak: 6x=9 mod 15 2x=3 2x=15k+3 k=wynosi 1 dzieki temu mozemy podzielic liczbe przez 2 2x=18/2 x=9 mod 15 wynik: x=9 mod 15 I teraz mam do Was pytanie, bo znalazłem w książce takie rozwiazanie Rozwiazmy równanie: 6x = 9 (mod 15) Poniewaz NWD(6, 15) = 3 wiec najpierw rozwiazujemy ¸ równanie 2x = 3 (mod 5) W Z₅ mamy 2⁻1 = 3 wiec rozwiazaniem jest x₀ = 3 · 3 = 4. Tak wiec rozwiazaniami równaia w Z₁5 są liczby 4, 9, 14. Teraz czy ja mam zle ,że tylko jeden wynik mi wyszedł?Czy moje rozwiazanie moze byc?

kochanus_niepospolitus: oczywiście, że masz źle 6*4 = 24 = 9 + 15

Darek: To w takim razie moze mi ktos wyjsnic skad bierze sie ta linijka x₀=3*3=4?I skąd sa takie wyniki jak 9,14?

kochanus_niepospolitus: 2x = 3 (mod 5) ⇔ x = (2⁻¹)*3 (mod 5) ⇔ x = 3*3 (mod 5) ⇔ x = 4 (mod 5)

Adamm: 6x≡9 (mod 15) 2x≡3 (mod 5) 2x≡8 x≡4 czyli x≡4, 9, 14 (mod 15) i x=4, 9, 14 to rozwiązania problem w tym że nie można sobie tak po prostu dzielić przez jakąś liczbę obu stron kongruencji, musisz podzielić jeszcze moduł przez największy wspólny dzielnik modułu i liczby dzielonej

Darek: Ok widze juz skad bierze sie to 4,9 ,ale nie mam pojecia skad macie to 14

Basia: mniejsze od 15 i dające 4 (mod5) to 4+0*5=4 4+1*5=9 4+2*5=14 więcej oczywiście już nie ma

Adamm: skoro x≡4 (mod 5) to x=4+5k czyli x≡4+5k (mod 15) skąd właśnie biorą się 4, 9, 14 (są to jedyne liczby postaci 4+5k między 0 a 15, i przystają do każdej innej tej postaci)