stereometria - liceum, rozszerzenie house: Odcinek o długości d łączy środek krawędzi podstawy z dowolnym wierzchołkiem drugiej podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego. Oblicz wymiary graniastosłupa, który ma pole powierzchni bocznej największe z możliwych. SD=DJ=d=0,5a z trójkąta SDJ −> a=d√2 nie wiem, jak uzależnić b od d

iteRacj@: odcinkiem łączącym środek krawędzi podstawy z dowolnym wierzchołkiem drugiej podstawy jest również SG lub SF, a te odcinki mają inną długość niż SH i SE czy ja dobrze to widzę?

Basia: przecież SH i HJ nie muszą być prostopadłe iteRacj@ dobrze widzisz

iteRacj@: dzięki

house: Faktycznie muszę kilka przypadków rozważyć, jutro zerknę na to zadanie ponownie, może coś więcej wypatrzę.

Basia: dane: d w przypadku takim jak na rysunku mamy b∊(0)

	a2
d2=		+b2
	4

4d²=a²+4b² a² = 4d²−4b² = 4(d²−b²) a = 2√d²−b² P_b = 4ab = 8b√d²−b²=f(b) i trzeba znaleźć maksimum tej funkcji

	1
f'(b) = 8√d2−b2+		*8b*(−2b) =
	2√d2−b2

	b		d2−b2−b		−b2−b+d2
8[ √d2−b2 −		]= 8*		=8*
	√d2−b2		√d2−b2		√d2−b2

	8
miejsca zerowe i znak pochodnej zależą tylko od y=−b2−b+d2 bo		jest stale
	√d2−b2

dodatni −b²−b+d²=0 Δ=1−4*(−1)*d² = 1+4d²>0

	1−√1+4d2
b1=		<0
	2

	1+√1+4d2
b2 =
	2

b∊(0;b₂) ⇒ f'(b)>0 ⇒ f rośnie b∊(b₂; d) ⇒ f'(b)<0 ⇒ f maleje

	1+√1+4d2
czyli dla b=		osiąga maksimum
	2

należałoby jeszcze sprawdzić czy b₂<d i policzyć a

1+√1+4d2
	<d
2

1+√1+4d²<2d √1+4d²<2d−1 1+4d²<4d²−4d+1 4d<0 sprzeczność więc albo się pomyliłam,albo w tym przypadku zadanie nie ma rozwiązania

Basia: przypadek2

	a2		5a2
x2 =		+a2=
	4		4

	5a2
d2=x2+b2 =		+b2
	4

4d² =5a²+b² b² = 4d²−5a² b = √4d²−5a² f(a) = P_b = 4ab = 4a*√4d²−5a²

	1		4d2−5a2+a
f'(a) = 4[ √4d2−5a2+a*		) = 4*
	2√4d2−5a2		2√4d2−5a2

−5a²+a+4d²=0 Δ=1−4*(−5)*4d² = 1+20d²>0

	−1−√1+20d2
a1=		<0
	2

	−1+√1+20d2
a2 =
	2

oczywiście w a₂ byłby maksimum, ale znowu pytanie czy

−1+√1+20d2
	<d
2

−1+√1+20d²<2d √1+20d²<2d+1 1+20d²<4d²+4d+1 16d²−4d<0 4d(d−4)<0 d<4 tak jest to możliwe dla d<4

	−1+√1+20d2
wtedy a=
	2

	1+20d2 − 2√1+20d2+1		2+20d2−2√1+20d2
a2 =		=
	4		4

	10+100d2−10√1+20d2
b2 = 4d2−		=
	4

16d2−10−100d2+10√1+20d2		−84d2−10+10√1+20d2
	=
4		4

ten ułamek musiałby być dodatni sprawdzam czy jest −84d²−10+10√1+20d²>0 10√1+20d²>84d²+10 /:2 5√1+20d²>42d²+5 15(1+20d²)>1764d⁴+210d²+25 15+300d²>1764d⁴+210d²+25 1764d⁴−90d²+10>0 /:2 882d⁴−45d²+5>0 Δ=2015−17640<0 czyli dobrze to jest stale dodatnie

	−1+√1+20d2
a=
	2

	−84d2−10+10√1+20d2		(−84d2−10+10√1+20d2)1/2
b=(		)1/2 =
	4		2

d<4 dla d≥4 zadanie nie ma rozwiązania

Basia: dziwaczne te wyniki; nie wiem czy to jest aby na pewno dobrze policzone

Basia: house skąd masz to zadanie?

house: od mojej matematyczki dla przygotowania przed sprawdzianem, dzięki za próbę, spróbuję przeanalizować Twoje działania

house: Na początku źle zrozumiałem zadanie, przeczytałem, że odcinek d łączy środki w podstawie

	a2
d2=		+b2
	4

	a2
b=√d2−
	4

po wrzuceniu pod jeden pierwiastek Pb=√16a²d²−4a³ f(a)=16a²d²−4a³ f'(a)=32d²a−18a² <−> a=0 v a=2d² Pb(2d²)=√16*4d⁴d²−32d⁶=4√2d jest ok?