Matura Pochodne optymalizacja
Matura: Prosta o równaniu y=a2x +3a przecina hiperbolę o równaniu y=4/x w dwóch punktach A i B.
Wyznacz długość odcinka Ab w zależności od wartości a jest mniejsze od zera. Wyznacz równanie
prostej, która przecina opisaną w zadnaiu hiperbolę tak, aby długość odcinka AB była
najmniejsza. Bardzo proszę o pomoc
11 sty 19:11
Matura: Ktoś pomoże jak to rozwiązać
11 sty 20:24
Basia:
a
2*x
2+3ax = 4
a
2*x
2+3ax−4=0
Δ=9a
2−4*a
2*(−4)=25a
2
√Δ=|5a|=−5a (bo piszesz, że a<0)
| | −3a+5a | | 2a | | 1 | |
x1= |
| = |
| = |
| |
| | 2a2 | | 2a2 | | a | |
| | −3a−5a | | −8a | | −4 | |
x2= |
| = |
| = |
| |
| | 2a2 | | 2a2 | | a | |
| | −4 | | 1 | | 25 | | 1 | |
|AB|2= ( |
| − |
| )2+(−a−4a)2 = |
| + 25a2= 25( |
| +a2) = f(a) |
| | a | | a | | a2 | | a2 | |
| | 1 | | 1 | | 50a(a4−1) | | 5a(a2−1)(a2+1) | |
f'(a) = 25(− |
| *2a + 2a) = 50a(− |
| +1)= |
| = |
| = |
| | a4 | | a4 | | a4 | | a4 | |
| 5a(a2+1) | |
| jest dla a<0 stale ujemny czyli miejsca zerowe i znak pochodnej zależą tylko |
| a4 | |
od a
2−1
a
2−1=0 ⇔ (a−1)(a+1)=0 ⇔ (a=1 ∨ a=−1) ⇔ a=−1 (bo a<0)
a∊(−
∞; −1) ⇒ a
2−1>0 ⇒ f'(a)<0 ⇒ f maleje
a∊(−1;0) ⇒ a
2−1<0 ⇒ f'(a)>0 ⇒ f rośnie
czyli dla a= −1 funkcja osiąga minimum
więc szukaną prostą jest prosta y=(−1)
2x+3*(−1) = x−3
11 sty 20:43
Matura: Dziękuję bardzo
11 sty 21:00