Relacja równoważności - klasa równoważności ktoś: Czy relacja jest klasą równoważności i jak tak to wyznacz jej klasę równoważności w(x), u(x) ∊ R[x] w(x) ≡ u(x) ⇔ u(x) * w(x) jest stopnia parzystego Z tego co zauważyłem to relacja jest zwrotna, przechodnia i symetryczna. Jeśli to co napisałem to prawda, to jaka będzie klasa równoważności? Bo nie do końca ją rozumiem

Pytający: Są dwie klasy abstrakcji: [x²]_≡ = {w(x)∊ℛ[x]: w(x) jest stopnia parzystego} [x]_≡ = {w(x)∊ℛ[x]: w(x) jest stopnia nieparzystego}

ktoś: Czy zapisanie przez ciebie [x²] w przypadku stopnia parzystego jest opcjonalne i mogę napisać [x]_≡ = {w(x)∊ℛ[x]: w(x) jest stopnia parzystego} [x]_≡ = {w(x)∊ℛ[x]: w(x) jest stopnia nieparzystego}

Pytający: Nie musi to być [x²], ale nie możesz tam napisać [x], bo wielomian "x" nie jest stopnia parzystego, a tym samym nie jest w relacji ≡ z elementami z tej klasy abstrakcji. W tej klamerce musi być jakiś reprezentant tej klasy abstrakcji (element do niej należący). Śmiało możesz zapisać: [x²]_≡ = [1]_≡ = [x⁶+√3x³+π]_≡ = {w(x)∊ℛ[x]: w(x) jest stopnia parzystego} [x]_≡ = [x³+2]_≡ = [x⁵⁵+x²]_≡ = {w(x)∊ℛ[x]: w(x) jest stopnia nieparzystego}

ktoś: Okej już rozumiem. Dzięki

ktoś: Jeszcze jeden przykład jak można. x,y ∊ Z p = 1 x~_py ⇔ 1|(x+y) Relacja jest zwrotna, symetryczna i przechodnia Z tego co mi się wydaję wszystkie liczby ∊Z mogą zostać wstawione Więc klasę równoważności mogę zapisać jako: [3] = {x∊Z}? / (ewentualnie [3] = {x∊Z: x∊Z} jeśli to coś zmienia)

Pytający: {x∊Z} jest ok, {x∊Z: x∊Z} to pleonazm, masło maślane. Poza tym raczej ok, dziwacznie jest zapisana sama relacja. Nie było może zapisane x~_py ⇔ p|(x+y) ? Bo z zapisu x~_py ⇔ 1|(x+y) wynika, jakby p nie miało żadnego wpływu na relację ~_p. Tak czy siak [3]_~1={x∊ℤ} jest ok.

ktoś: Sam przykład w całości brzmi dla x,y ∊ Z i dla p∊N, x∼p y⇔p|x+y. Rozważ (i)p=1,(ii)p=2(iii)p>2. Więc chyba tak jak piszesz gdy za p podstawiam w (i) jedynkę to nie daję ~_p tylko samo ~

ktoś: dla A, B ⊆ Z, A ~ B ⇔ A ÷ B jest skończonym zbiorem Zwrotność nie jest spełniona prawda? A ÷ A = A, a A może być zbiorem nieskończonym?

Pytający: Nie samo ~, tylko ~₁. ÷ to różnica symetryczna czy co?

ktoś: Tak to różnica symetryczna. Czasem chyba oznacza się to przez Δ

Pytający: To przecież A÷A =∅.

ktoś: Prawda . Nie wiem jak to pomyliło mi się z AnB

ktoś: Co do przechodności w tej relacji to nie jest prawdziwa zgadza się?

Basia: prawda, ale mówi się normalnie "relacja nie jest przechodnia"

ktoś: Okej. Studiuje po angielsku, więc co do nazewnictwa to czasem nie wiem jak coś po polsku w matematyce się zwie i muszę "guglować"

Basia: w porządku, nie ma problemu akurat tu po polsku jest prosto i łatwo, więc warto zapamiętać

ktoś: Klasa relacji (x,y), (z,t) ∊ R², (x,y)~(z,t) ⇔ max(x,y) = max(z,t) To będzie [(1,1)] = {(x,y)∊R²: (x,y)~(1,1)} = {(x,y)∊R²} Wydaję mi się, że już rozumiem pojęcie klasy równoważności, ale jeszcze się upewnię 

Qulka: http://prntscr.com/hz0i6l

Basia: to jest definicja klasy równoważności (klasy abstrakcji) a potrafisz teraz dokładniej opisać tę klasę równoważności?

ktoś: [(1,1)] = {(x,y)∊R2: (x,y)~(1,1)} = {(x,y): max(x,y) = max(1,1)} = {(x,y): (x=1 ⋀ y<=1) v (x<=1 ⋀ y=1)} hm?

Basia: tak, bardzo dobrze można też tak (to tylko inny zapis): {(1,y): y∊R ∧ y≤1}∪{(x,1): x∊R ∧ x≤1}

Adamm: w mojej szkole, oznacza się st. 0 = −∞ i teraz czy −∞ jest parzyste, czy nieparzyste?

Basia: nie rozumiem tego zapisu; co znaczy st.0 = −∞ ?

ktoś: Chyba Adamm post pomylił Mam jeszcze przykładziki dwa, które mi problem sprawiają. dla A, B ⊆ N, A ∼ B ⇔ istnieje taka bijekcja f : A → B Zwrotnosc: istnieje chociażby jak *1 tak? Symetryczność: Jeśli zamienimy jeden zbior w drugi to na pewno sie da go z powrotem zamienic? Przechodnosc: Tutaj wydaje mi sie ze jesli zbior A zamienie w B(przez *3), a B moge zamienic w C(przez *6), to na pewno przykładowo moge zamieinc zbior A w C mnozac przez 18. Dobrze mysle? A = {1,1,1} B = {3,3,3} C = {18,18,18} I pasuje prawda ? I teraz klasa rownowaznosci to to samo co robilismy wczesniej [{3,3,3}] = {(A⊆N: A~{3,3,3}} = i w sumie to zauważyłem teraz, że nie wiem jak to dalej zapisać 

Adamm: st. 0 − stopień wielomianu zerowego nie, nic nie pomyliłem

Basia: no a dlaczego ten st.0 = − ∞ ?

ktoś: Ahh.. ,już widzę o co ci chodziło. To ja osobiście z takim oznaczeniem się nie spotkałem

Basia: Twoje A,B,C to multizbiory; odpuścilabym A,B,C⊂N [A] = {B⊂N: moc(A) = moc(B)} ludzkim językiem: zbiory są w relacji jeżeli są równoliczne czyli trzy elementowy jest w relacji z każdym innym trzy elementowym przeliczalny nieskończony(czyli o mocy alef₀) jest w relacji z każdym innym o mocy alef₀

Pytający: Adamm, słuszna uwaga, zapis: [x²]≡ = {w(x)∊ℛ[x]: (w(x) jest stopnia parzystego) ⋁ w(x)=0} powinien rozwiązać problem, jeśli zakłada się, że stopień wielomianu zerowego jest nieokreślony czy równy −∞.

ktoś: Dla k,n ∊ N₊, k~n ⇔ ( ∀_p∊P p|k ⇔ p|n), gdzie P jest zbiorem wszystkich liczb nieparzystych. Udowodnij, że ~ jest relacją równoważności w N₊. Znajdź klasy równoważności [9]_~ i [6]_~ Udowodnić udowodniłem, ale znowu te klasy Czy dla 9 będą w (∀_p∊P p|k ⇔ p|9) oba p|k i p|n fałszywe bo chodzi o to że dla każdego p, a dla każdego nie będą?

Basia: jeżeli dobrze zrozumiałam to [9] = {9k: k∊N₊} [6] = {3k: k∊N₊} [9]⊂[6] n~9 ⇔ 3|n ∧ 9|n ⇔ 9|n ⇔ n=9k n~6 ⇔ 3|n ⇔ n=3k

Basia: oczywiście 1 też jest liczbą nieparzystą i "lege artis" należałoby napisać n~9 ⇔ 1|n ∧ 3|n ∧ 9|n

ktoś: Na ten moment nie rozumiem, ale może kilkanaście minut się popatrze i zrozumiem

Adamm: jeśli [6]⊂[9] to czy aby na pewno jest to relacja równoważności?

Adamm: odwrotnie

Basia: to nie jest dobrze; poprawię za chwilę

Pytający: (p⇔q) to zdanie prawdziwe dla p=q (bez względu czy p=q=0, czy p=q=1) W relacji ~ z 9 będzie każda liczba ∊ℕ₊, której zbiór dzielników nieparzystych jest taki sam jak tej 9, czyli {1,3,9}. Zatem: [9]_~= {9*2^k: k∊ℕ∪{0}} // przykładowo 27 nie jest w relacji z 9, bo 27∊P i jest dzielnikiem 27, ale nie jest dzielnikiem 9.

Adamm: [6] to zbiór liczb 3*2ⁿ a [9] to zbiór liczb 9*2ⁿ

Basia: n~9 ⇔ 1|n ∧ 3|n ∧ 9|n ∧ każdy nieparzysty dzielnik n jest dzielnikiem 9 czyli n muszą być wielokrotnościami liczby 9, ale tylko parzystymi (poza samą liczbą 9) [9] = {9}∪{2k*9: k∊N₊} = {9}∪{18k: k∊N₊} n~6 ⇔ 1|n ∧ 3|n ∧ każdy nieparzysty dzielnik n jest dzielnikiem 6 czyli n muszą być wielokrotnościami liczby 3, ale tylko parzystymi [6] = {2k*6: k∊N₊} = {12k: k∊N₊}

Basia: przy 6 jeszcze ∪{3}

Basia: i nie 2k*6 tylko 2k*3 =6k

Basia: [6]={3}∪{6k: k∊N₊}

Adamm: no widzisz Basiu k=3 2*3*6 − czy to jest w relacji z 9? no nie

Adamm: z 6*

Basia: oczywiście znów sobie źle przepisałam ⇒ zamiast ⇔ i głupoty wyszły

Basia: o czym innym myślę, a co innego piszę wielokrotnościami parzystymi niepodzielnymi przez żadną liczbę nieparzystą oczywiście masz rację to są liczby postaci 2ⁿ

ktoś: Okej dzięki wszystkim. Teraz na pewno zrozumiem

Pytający: Basiu, każdemu się zdarza. I Adamm, tak teraz patrzę odnośnie tego wielomianu zerowego i mój pierwotny zapis jak najbardziej był ok (a na pewno lepszy, niż po poprawce). Przecież iloczyn wielomianu zerowego przez dowolny wielomian to wciąż wielomian zerowy, a zatem jakkolwiek byśmy go nie klasyfikowali ze względu na parzystość (parzysty/nieparzysty) znajdzie się w odpowiedniej klasie abstrakcji. A jeśli jego parzystość jest nieokreślona, to oczywiście w żadnej klasie abstrakcji go nie będzie, bo do relacji nie należy wtedy żadna para, której elementem jest wielomian zerowy. Ktoś, proszę bardzo.

ktoś: Jak w dla [9]_~= {9*2^k: k∊_ℕ∪0} to dla [6] będzie to samo czyli w postaci [6]_~= {6*2^k: k∊_ℕ∪{0} prawda?

Pytający: Ano nieprawda, przecież 3 też ma dzielniki nieparzyste {1,3}. Adamm podał dobre odpowiedzi. Generalnie: [x]_~ = {x*2^k−n: k∊ℕ∪{0} ∧ (n = liczba wystąpień 2 w rozkładzie x na czynniki pierwsze)}.