Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x,y zachodzi nierówność Lillit: Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x,y zachodzi nierówność:

x2+1
	≤ e|x−y|
y2+1

mam w podpowiedzi, żeby nałożyć logarytm, a później robić z lagrange. O co chodzi z nałożeniem logarytmu?

Mila:

	x2+1
ln(		)≤ln(e|x−y|)⇔
	y2+1

ln(x²+1)−ln(y²+1)≤|x−y| dalej sama

Lillit: można tak? Dobra już to rozpisuję.

Lillit: ok mam. Skoro ln(x²+1) − ln(y²+1) ≤ |x−y| to

ln(x2+1) − ln(y2+1)
	≤ 1
|x−y|

przyjmijmy f(x) = ln(x²+1)

	2x
wtedy f'(c) =
	x2+1

Zatem dla c∊ [x,y]

ln(x2+1) − ln(y2+1)		2c
	=
|x−y|		c2+1

Czyli

2c
	≤ 1
c2+1

co po przekształceniu daje nam (c−1)² ≥ 0 co jest prawdą dla dowolnego c∊R coś takiego? Ogólnie w takim razie łatwe, tylko nie wiedziałam, że można sobie tak po prostu nałożyć logarytm naturalny

Adamm: prawie dobrze 1. x=y to nie można podzielić przez |x−y| 2. x może być większe niż y, więc nie można pisać c∊[x, y] 3. nie zapominaj o komentarzu że przekształcenia były równoważne itd.

Lillit: ok powinnam jeszcze dopisać że x>y i w sumie przedział to powinien być [y,x] bardziej a nie [x,y]. Jasne.