algebra liniowa mnich : znajdz pierwiastki rownan a) x³+8=0 b) x⁶+64=0 c) x⁶−1=0

===: ...popatrz na wzory a³+b³ a³−b³

PW: Hasło "algebra liniowa" bardzo ułatwia zrozumienie o co idzie. Domyślić się można, że jesteś studentem, ale napisz po ludzku: − Rozwiązać w zbiorze liczb rzeczywistych, czy zespolonych?

mnich: liczb zespolonych

PW: c) x⁶=1 − sześć rozwiązań tego równania tworzy zbiór zwany pierwiastkiem szóstego stopnia z jedności. Przedstawiamy 1 = cos0+isin0 i stosujemy wzory de Moivre'a. Każda liczba postaci

	2kπ		2kπ
ωk=cos		+isin		, k=0,1,2,3,4,5
	6		6

jest rozwiązaniem, gdyż ω_k⁶= cos2kπ+isin2kπ=cos0+isin0=1. Więcej rozwiązań nie ma (równanie szóstego stopnia ma co najwyżej 6 rozwiązań). Chcąc przedstawić rozwiązania w postaci algebraicznej podstawiamy kolejne k: ω₀=cos0+isin0=1

	π		π		1		√3
ω1=cos		+isin		=		+i
	3		3		2		2

2π

2π

π

π

1

√3

ω2=cos

+isin

=−cos

+isin

=−

+i

3

3

3

3

2

2

ω₃=cosπ+isinπ=−1 itd. Kto ma kłopoty z trygonometrią może sobie przyspieszyć korzystając z faktu, że ω_k są na okręgu jednostkowym wierzchołkami sześciokąta foremnego.

Mila: a) x³+8=0 (x+2)*(x²−2x+4)=0 x=−2 lub x²−2x+4=0 Δ=4−16=−12=12i²

	2−2√3*i		2+2√3*i
x=		lub x=
	2		2

x=−2 lub x=1−√3 i lub x=1+√3i

Mila: b) x⁶+64=0 (x²)³+4³=0 (x²+4)*(x⁴−4x²+16)=0 x²=−4 lub x⁴−4x²+16=0, Δ=16−64=−48=16*3*i²

	4−4√3i		4+4√3i
x2=4i2 lub x2=		lub x2=
	2		2

x=2i lub x=−2i lub x²=2−2√3i lub x²=2+2√3i dokończ, wzory de Moivre'a