Udowodnij,że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b takich,że a≥b>0,prawdziwa j yolka: b²(a+1)≤a²(b+1)

Benny:

b2		a2
	≤
b+1		a+1

	x2
Pokaż, że f(x)=		jest rosnąca.
	x+1

yolka: Hmm myślałem,że będzie troszkę prościej bo to temat z dowodami,w którym głownie zwija się do wzorów skróconego mnożenia no ale tyle sposobów na to zadanie ile ludzi

KTJ: Na lewą stronę (gdzie lewa to ta mniejsza): a²+a²b−b²a−b²=a²−b²+ab(a−b)=(a+b)(a−b)+ab(a−b)=(a−b)(a+b+ab)≥0 (bo... )

PW: Można spróbować tak (wcale nie łatwiej, jest to rozwiązanie oparte na pomyśle "zamiast mówić o nierówności dla dwóch zmiennych spróbujmy mówić o nierówności jednej zmiennej z parametrem): Niech a = bx, przy czym z założenia wynika, że x≥1. Badana nierówność ma wtedy postać b²(bx+1)≤b²(b+1)x², x≥1, b>0 bx+1≤(b+1)x², x≥1, b>0 (1) (b+1)x²−bx−1≥0 Δ=b²+4(b+1)=b²+4b+4=(b+2)² √Δ=|b+2| = b+2>0. Rozwiązaniami nierówności (1) są więc m. in. (tu warto narysować wykres)

	b+b+2
x≥x2 =		=1.
	2(b+1)

Pokazaliśmy, że rozwiązaniami nierówności (1) są m.in. wszystkie x≥1, co jest równoważne badanej nierówności (jest prawdziwa dla wszystkich b>0 i a≥b).