Mariusz:
Jeśli chodzi o równania zwyczajne to najpierw rozpoznaj rząd równania (rząd pochodnej)
Równania pierwszego rzędu możemy podzielić na
* równanie o rozdzielonych zmiennych
| | dy | |
Jest to równanie postaci |
| =f(x)g(y) |
| | dx | |
*równanie jednorodne
| | dy | | y | |
Jest to równanie postaci |
| =f( |
| ) |
| | dx | | x | |
Rozwiązujesz je przez sprowadzenie do równania o rozdzielonych zmiennych
*równanie liniowe
| | dy | |
Jest to równanie postaci |
| +p(x)y=q(x) |
| | dx | |
Możesz je rozwiązać zakładając że rozwiązanie jest iloczynem dwóch funkcji
*równanie Bernoulliego
| | dy | |
Jest to równanie postaci |
| +p(x)y=q(x)yr |
| | dx | |
Przez podstawienie u=y
1−r można je sprowadzić do liniowego
*równanie Riccatiego
| | dy | |
Jest to równanie postaci |
| =p(x)y2+q(x)y+r |
| | dx | |
Znając całkę szczególną można je sprowadzić do
Bernoulliego podstawieniem y=y
1+u
| | 1 | |
liniowego pierwszego rzędu podstawieniem y=y1+ |
| |
| | u | |
*równanie Lagrange−Clairault
Jest to równanie postaci y=f(y')x+g(y')
Po obustronnym zróżniczkowaniu i wprowadzeniu parametru
sprowadzamy równanie do liniowego
*równanie zupełne
| | dy | |
Jest to równanie postaci P(x,y)+Q(x,y) |
| =0 |
| | dx | |
| | δP | | δQ | |
gdy spełniony jest warunek |
| = |
| |
| | δy | | δx | |
Gdy ten warunek nie jest spełniony do możesz poszukać tzw czynnika całkującego
| | δμP | | δμQ | |
rozwiązując równanie |
| = |
| |
| | δy | | δx | |
To równanie na czynnik całkujący najłatwiej rozwiązać gdy μ(x,y) jest funkcją jednej zmiennej
Równania drugiego rzędu sprowadzalne do równania pierwszego rzędu
* równanie postaci F(x,y',y'')=0
Możesz sprowadzić do równania pierwszego rzędu podstawieniem y'=u(x)
* równanie postaci F(y,y',y'')=0
Możesz sprowadzić do równania pierwszego rzędu podstawieniem y'=u(y)
Równania liniowe wyższych rzędów
| dny | | dn−1y | | dy | |
| +pn−1(x) |
| +..+p1(x) |
| +p0(x)y=f(x) |
| dxn | | dxn−1 | | dx | |
Jeżeli uda ci się zgadnąć rozwiązanie szczególne y
1(x) równania jednorodnego
| dny | | dn−1y | | dy | |
| +pn−1(x) |
| +..+p1(x) |
| +p0(x)y=0 |
| dxn | | dxn−1 | | dx | |
to możesz obniżyć rząd równania podstawieniem y=y
1(x)∫u(x)dx
| | dny | | dn−1y | | dy | |
xn |
| +pn−1xn−1 |
| +..+p1x |
| +p0y=0 |
| | dxn | | dxn−1 | | dx | |
p
n−1=const∧p
n−2=const∧p
n−2=const∧...∧p
1=const∧p
0=const
Podręczniki podają że jest to równanie różniczkowe Eulera
Można je sprowadzić do równania o stałych współczynnikach podstawieniem
x=e
t
Równania liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach
| dny | | dn−1y | | dy | |
| +pn−1 |
| +..+p1 |
| +p0y=f(x) |
| dxn | | dxn−1 | | dx | |
p
n−1=const∧p
n−2=const∧p
n−2=const∧...∧p
1=const∧p
0=const
Zakładasz że całki szczególne są postaci y=e
λx
wstawiasz do równania i otrzymujesz równanie wielomianowe
Gdy masz już rozwiązanie ogólne równania jednorodnego
to rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego
otrzymasz uzmienniając stałe
Zakładasz że całka szczególna jest postaci
y
s(x)=C
1(x)y
1(x)+C
2(x)y
2(x)+...+C
n−1(x)y
n−1(x)+C
n(x)y
n(x)
Wstawiając tę postać rozwiązania do równania różniczkowego
otrzymujesz układ równań którego rozwiązanie po scałkowaniu da
funkcje C
1(x),C
2(x),...,C
n−1(x),C
n(x)
Przydane mogą być jeszcze
*rachunek operatorowy − tzw przekształcenie Laplace
F(s)=∫
0∞f(t)e
−stdt
*układy równań różniczkowych
Równanie różniczkowe może być zapisane w postaci układu równań i odwrotnie