Nierówność Gibon: Rozwiąż nierówność: (x⁴−1)(x³+1)(x⁶−1)(x⁵+1)≤0

Qulka: xeR\{−1;1}

Gibon: A można z wytłumaczeniem? Bo nie moge sam dojść do wyniku

Qulka: a umiesz rozpisać ze wzorów skróconego mnożenia na kolejne nawiasy? wyjdzie x=−1 4 razy i x=1 dwa razy i wężyk i się odbijają w obu

Qulka: (x²−1)(x²+1)(x³+1)(x³−1)(x³+1)(x⁵+1) (x−1)(x+1)(x²+1)(x³+1)(x³−1)(x³+1)(x⁵+1) 1 −1 brak −1 1 −1 −1

Qulka:

Gibon: (x⁴−1)=(x²−1)(x²+1)=(x−1)(x+1)(x²+1) (x⁶−1)=(x³−1)(x³+1) Dalej nie wiem co zrobić jak jest np. (x⁵+1) to da sie jakoś to rozpisać czy nie? W ogóle odpowiedź powinna być x∊{−1;1}

mat: Odp: x∊{−1,1}

Gibon: Dobra już wiem Dzięki serdeczne

Adamm: po prostu x^2k−1 zamień na (x−1)(x+1) a x^2k+1−1 na x−1 x^2k+1+1 na x+1

Qulka: bo ja zamiast mniejsze zauważyłam większe od zera więc tak tylko −1 i 1

Basia: miejscami zerowymi są wyłącznie −1 i 1 w przedziale (−∞; −1) x⁴−1=(x²−1)(x²+1) > 0 x³+1<0 x⁶−1 = (x³−1)(x³+1)>0 x⁵+1<0 (+)*(−)*(+)*(−) = (+) w przedziale (−1;1) x⁴−1 < 0 x³+1>0 x³−1<0 x³+1>0 x⁵+1>0 też dodatnie w przedziale (1;+∞) wszystkie dodatnie jeżeli się nie pomyliłam to x∊{−1;1}

Basia: x⁵+1= (x+1)(x⁴−x³+x²−x+1) niezbyt ciekawe i w sumie nic nie daje,chociaż można udowodnić,że x⁴−x³+x²−x+1 >0 (stale)

Adamm: podstawiasz na coś co ma taki sam znak czyli nic się nie zmienia dlatego akurat tak

Basia: gdybyś chciał to bardzo dokładnie rozkładać to tak: x⁴−1=(x²−1)(x²+1)=(x−1)(x+1)(x²+1) x³+1=(x+1)(x²−x+1) x⁶−1=(x³−1)(x³+1) = (x−1)(x²+x+1)(x+1)(x³−x+1) x⁵+1=(x+1)(x⁴−x³+x²−x+1) ponieważ W(x)=x⁵+1 ma tylko jeden pierwiastek x=−1 wielomian P(x) = x⁴−x³+x²−x+1 można rozłożyć tylko na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych (x²+ax+b)(x²+cx+d) = x⁴+cx³+dx²+ax³+acx²+adx+bx²+bcx+bd= x⁴+(c+a)x³+(d+ac+b)x²+(ad+bc)x+bd stąd c+a=−1 d+ac+b=1 ad+bc=−1 bd=1 gdyby przyjąć b=d=1 byłoby a+c=−1 ac = −1 c = −1−a a(−1−a)=−1 −a²−a+1=0 a²+a−1=0 Δ=1+4=5

	1−√5		1+√5
a1 =		a2=
	2		2

	1+√5
no to weźmy a=
	2

	−1		−2		−2(1−√5)		1−√5
wtedy c =		=		=		=
	a		1+√5		1−5		2

	1+√5		1−√5
x4−x3+x2−x+1 = (x2+		x+1)(x2+		x+1)
	2		2

jeżeli to teraz wymnożysz dostaniesz

	1+√5		1−√5
(x−1)2(x+1)4(x2+1)(x2−x+1)(x2+x+1)(x2+		x+1)(x2+		x+1) ≤ 0
	2		2

przy pomocy Δ stwierdzasz, że żaden z trójmianów już nie jest rozkładalny i wszystkie przyjmują stale wartości dodatnie a poza tym masz dwumiany w potęgach parzystych stąd wynika, że to nie może być ujemne czyli nierówność stale się równaniem .....=0 x=−1 lub x=1

Adamm: dokładne rozkładanie jest do dupy chodzi o to żeby się napracować jak najmniej a nie żeby robić bezsensowne obliczenia