Zbieżność ciągu zadanego rekurencyjnie koot: Cześć! Jak mogę pokazać, że ciąg zadany rekurencyjnie jest zbieżny? Chodzi mi konkretnie o taki ciąg: x₁ = 1; x_n+1 = √4x_n² − a , gdzie 0 ≤ a ≤ 3;

'Leszek: Niech lim x_n = g , zatem : g² = 4g² −a ⇒ g= √a/3 Oraz 4g² −a >0 ⇒ (2g−√a)(2g+√a) > 0

koot: @'Leszek Czyli g=√a/3 i g>√a/2? I.. To wszystko? Nie muszę pokazywać, że ciąg jest ograniczony czy coś podobnego?

Basia: dla a=0 ten ciąg nie jest zbieżny bo to jest ciąg geometryczny x₁=1 q=2 x₂ = √4*1=2 x₃ = √4*4=4 x₄ = √4*16 = 8 itd. dla a=1 też nie wygląda na zbieżny x₂ = √4−1=√3 x₃ = √4*3−1 = √11 x₄ = √4*11−1 = √43 itd. wydaje mi się, że dopiero dla a=3 dostaniesz ciąg stały x_n=1 czyli zbieżny najlepiej byłoby napisać wzór ogólny, ale nie wiem czy tutaj to będzie takie proste

Basia: To co napisał Leszek jest dobrym sposobem na policzenie granicy, gdy wiemy na pewno, że ciąg jest zbieżny. Tutaj tak nie jest.

Adamm: x_n+1²−x_n²=3x_n²−a ciąg jest rosnący dla x_n²>a/3 jeśli 1>a/3 ⇔ 3>a to ciąg na pewno jest rosnący

Adamm: √a/3=g<1 więc ciąg dla a<3 nie dąży do g jest rozbieżny do ∞ teraz gdy a=3 ciąg jest stały i dąży do 1

Adamm: tamta pierwsza nierówność była tylko dla a<3

koot: Dziękuję za pomoc