Zbieżność ciągu zadanego rekurencyjnie
koot: Cześć! Jak mogę pokazać, że ciąg zadany rekurencyjnie jest zbieżny? Chodzi mi konkretnie o taki
ciąg:
x1 = 1;
xn+1 = √4xn2 − a , gdzie 0 ≤ a ≤ 3;
7 sty 20:10
'Leszek: Niech lim xn = g , zatem : g2 = 4g2 −a ⇒ g= √a/3
Oraz 4g2 −a >0 ⇒ (2g−√a)(2g+√a) > 0
7 sty 20:17
koot: @'Leszek Czyli g=√a/3 i g>√a/2? I.. To wszystko? Nie muszę pokazywać, że ciąg jest
ograniczony czy coś podobnego?
7 sty 20:23
Basia:
dla a=0 ten ciąg nie jest zbieżny bo to jest ciąg geometryczny x1=1 q=2
x2 = √4*1=2
x3 = √4*4=4
x4 = √4*16 = 8
itd.
dla a=1 też nie wygląda na zbieżny
x2 = √4−1=√3
x3 = √4*3−1 = √11
x4 = √4*11−1 = √43
itd.
wydaje mi się, że dopiero dla a=3 dostaniesz ciąg stały xn=1 czyli zbieżny
najlepiej byłoby napisać wzór ogólny, ale nie wiem czy tutaj to będzie takie proste
7 sty 20:31
Basia: To co napisał Leszek jest dobrym sposobem na policzenie granicy, gdy wiemy na pewno,
że ciąg jest zbieżny.
Tutaj tak nie jest.
7 sty 20:33
Adamm: xn+12−xn2=3xn2−a
ciąg jest rosnący dla xn2>a/3
jeśli 1>a/3 ⇔ 3>a to ciąg na pewno jest rosnący
7 sty 20:38
Adamm: √a/3=g<1 więc ciąg dla a<3 nie dąży do g
jest rozbieżny do ∞
teraz gdy a=3 ciąg jest stały i dąży do 1
7 sty 20:41
Adamm: tamta pierwsza nierówność była tylko dla a<3
7 sty 20:41
koot: Dziękuję za pomoc
7 sty 21:36