Zadanko :-) Ewa: Ile jest takich liczb n należących do zbioru {1,2,....1500}, dla których n⁴−1 jest podzielna przez 9?

PW: Próbowałaś wykorzystać kryterium podzielności przez 9 (suma cyfr dzieli się przez 9)?

Ewa: Wiem,że jeżeli n4−1=(n−1)(n+1)(n²+1).Liczba n²+1 daje z dzielenia przez 3 resztę 1 lub 2, więc liczba n⁴−1 jest podzielna przez 9 wtedy i tylko wtedy gdy liczba (n−1)(n+1) jest podzielna przez 9. Więc n⁴−1 jest podzielna prze 9 gdy 9|n+1 lub 9|n−1 , ale nie wiem co dalej.Jak wyznacyć ilość tych licb.?

Mila: Liczby postaci: 9k+1 oraz 9k+8

Krystian: Czyli? Musi wyjść jakaś konkrwtna liczba.

Mila: 1) 9k+1<1500 i k∊N 9k<1499 k<166.(5) k∊<0,166> i k∊N to masz 167 liczb ( 9*0+1=1 najmniejsza z liczb tej postaci 9*166+1=1495− największa ) 2) 9k+8<1500 licz podobnie

Basia: żeby się nie męczyć z postacią n⁴−1 wystarczy zauważyć, że jeżeli n²−1 jest podzielna przez 3 to n²+1 na pewno NIE czyli musi być n²−1 podzielne przez 9 ALBO n²+1 podzielne przez 9 badamy liczby postaci 9k, 9k+1,.....,9k+8 czyli ogólniej 9k+r dla r=0,1,....8 n²−1 = (9k+r)²−1 = 81k²+18kr+ r²−1 czyli r²−1 musi być podzielna przez 9 a to jest prawda dla r=1 i r=8 n²+1 = (9k+r)² + 1 = 81k²+18kr+r²+1 musiałoby być r²+1 podzielne przez 9 a tak nie jest dla żadnego r=0,1,2,....8 czyli mamy tylko liczby postaci 9k+1 lub 9k+8 jak policzyć ile ich jest wiesz?