Nierówności logarytmiczne Maciek: Rozwiąż nierówności: a) log_1/5(2x + 1) < 1 + log_1/5 (16 − x²)

	2
b)		≥ 1 − log3x
	log1/3x

	1
c)ln x +		> 0
	ln x

Basia: ad.a

	1
2x+1>0 ⇔ x>−
	2

16−x²>0 ⇔ x∊(−4;4) x∊(−¹₂;4) log_1/5(2x+1) − log_1/5(16−x²}<1

	2x+1		1
log1/5		<1=log1/5
	16−x2		5

2x+1		1
	>
16−x2		5

możemy pomnożyć przez 5(16−x²) bo z założenia 16−x²>0 5(2x+1)>16−x² x²+10x −11>0 Δ = 100−4*1*(−11) = 144 √Δ=12

	−10−12
x1 =		= −11∉D więc odpada
	2

	10+12
x2 =		= 1∊D
	2

czyli x=1

===: a) Zacznij od dziedziny 2x+1>0 i 16−x²>0 ⇒ x∊(−0,5, 4) a potem: log_1/5(2x+1)<log_1/5[1/5(16−x²)] dalej sam ... pamiętaj, że podstawa logarytmu jest mniejsza od 1 zatem funkcja malejąca

===: ... i tak Basia zameniła nierówność w równanie

Basia: ad.b

	log3x		log3x
log1/3x =		=		= −log3x
	log3(1/3)		−1

stąd

2
	≥1−log3x
−log3x

x>0 log₃x≠0 ⇔ x≠1 t = log₃x

	2
−		≥1−t
	t

	2
t−		−1≥0
	t

t2−t−2
	≥0
t

t²−t−2=(t+1)(t−2)

(t+1)(t−2)
	≥0
t

t(t+1)(t−2)≥0 i t≠0 t∊<−1;0)∪<2;+∞) stąd (log₃x≥−1 ∧log₃x<0) ∨log₃x≥2

	1
(x≥		∧ x<1) ∨ x≥9
	3

x∊<¹₃;1)∪<9;+∞) sprawdzaj bo lubię się mylić w rachunkach

Basia: ad.a no przecież [(−∞;−11)∪(1;+∞)]∩(−1/2;4) = (1;4) Skończyć wystarczy

===: no przecież

Basia:

	1
lnx+		>0
	lnx

x>0 i x≠1 t=lnx

	1
t+		>0
	t

t2+1
	>0
t

t²+1>0 dla każdego t czyli musi być t>0 lnx>0 x>1

Maciek: Bardzo dziękuję za pomoc. Wszystkie wyniki się zgadzają. Życzę dobrego dnia