Algebra - Przestrzeń wektorowa (baza) ktoś: Znajdź bazę W={(x,y,z,t)∈R⁴:2x+y−3z+t=0 ∧ x−y+2z−t=0}. Wyszło mi [2] oraz [ 1 ] [1] [ −1] Ale możliwe, że jest to kompletnie źle. Robiłem to sposobem 'internetowym'.

Adam: 3x=z y=7x−t Zbiór punktów (x, y, 3x, 7x−y)=x(1, 0, 3, 7)+y(0, 1, 0, −1) Od razu widać punkty jakie tworzą bazę tej przestrzeni

jc: 2x+y−3z+t=0 x−y+2z−t=0 x−y+2z−t=0 3x−z=0 x, y parametry (x,y,z,t)=(x, y, 3x, 7x−y)=x (1,0,3,7) + y (0,1,0,−1) Przykładowa baza: (1,0,3,7), (0,1,0,−1).

ktoś: Okej zrobiłem teraz inny przykład "waszym" sposobem i go rozumiem. A jak określić wymiar? Przykładowo w zeszyscie mam przykład {(x,y,z,t)∈R⁴ | x+y+z+t=0}, i wyszło: y(−1,1,0,0) + z(−1,0,1,0) + t(−1,0,0,1) = (0,0,0,0) Więc baza to {(−1,1,0,0), (−1,0,1,0), (−1,0,0,1)} tak? I pod tym napisane mam w zeszycie, że dim = 0. O co chodzi? Z tego co ja rozumiem to dałbym dim = 3.

jc: Wymiar = liczba elementów bazy

jc: Tak, ja piszesz, wymiar = 3.

Adam: Co jeśli nie wybraliśmy bazy? Musi być inna definicja

jc: Jeśli jakaś baza ma n elementów, to każda inna też ma n elementów. Dlatego wymiar jest dobrze zdefiniowany. Nie widziałem definicji nie używającej pojęcia bazy.

Adam: Ciekawe, bo wymiar tak zdefiniowany jest właśnie niezależny od wybranej bazy, można by pomyśleć że taka definicja istnieje