zadanie relacje: Zaczynam relację i mam mały problem z zadaniem: Na zbiorze N² wprowadzamy relację (m₁, n₁)R(m₂, n₂) ⇔ m₁ + n₂ = m₂ + n₁. Opisać N²/R. Ze wzoru [x]_R = {y∊X: xRy} mam [(a,b)]_R = {(x,y)∊N²: a + y = b + x} i niestety nie wiem co dalej zrobić żeby opisać zbiór klas abstrakcji. Umiem opisać zbiór klas abstrakcji dla np. dodawania w modulo 3, ale tu nie wiem co zrobić. Z tego co zauważyłem, to jakby a=b, to mam [(a,b)]_R = { (x,x)∊N² } czyli N², bo x=y no i jeżeli a>b, to na pewno x>y itd..

jc: Czego oczekujesz? To półproste w pierwszej ćwiartce. A sama relacja jest wstępem do konstrukcji liczb całkowitych.

Basia: po przekształceniu (m₁,n₁)R(m₂,n₂) ⇔m₁−n₁ = m₂−n₂ ⇔ m₂ = m₁+r ∧ n₂=n₁+r r może być dowolną liczbą naturalną, ale może być też liczbą całkowitą ujemną ale |r|≤min(m₁,n₁) bo nie możemy dostać w wyniku liczby ujemnej [(x,y)] = {(x+r,y+r): r∊N∨(r∊C₋ ∧ |r|≤min(x,y))}

relacje: Ogromnie dziękuję za wyjaśnienie! Mam jednak 2 pytania: 1) Czy nie powinno być |r|<min(m₁,n₁) jako, że chcemy mieć naturalne, a przy ≤ możemy uzyskać 0. 2) Czym jest to C₋? Czemu nie jest po prostu [(x,y)]_R = { (x+r, y+r): r∊N ∧ |r|≤min(x,y) }?

Basia: 0∊N (nawet w szkole )

Basia: C₋ zbiór liczb całkowitych ujemnych

relacje: Ok, dzięki!

Adam: To umowne, czy 0 jest naturalne

Adam: Nie wiem po co mu oznaczenia typu "C₋" skoro i tak będzie musiał używać "Z" jako całkowite

Basia: naturalnego r nie ograniczasz para (1+dowolna naturalna,1+dowolna naturalna) należy do klasy abstrakcji [(1,1)], para (1−1;1−1)=(0,0) też, ale odpada już para(1−2,1−2) = (−1;−1) bo ∉N² a np. [(10,20)] masz wszystkie pary (10+dowolna naturalna, 20+dowolna naturalna) czyli pary (10,20) (11,21) (12,22) itd. do nieskończoności oraz pary (10+(−1),20+(−1))=(9,19) (10+(−2);20+(−2))=(8,18) ...................................... itd.ale tylko do pary (10+(−10); 20+(−10)) = (0;10) czyli r=0,1,2,3,4..........(do nieskończoności) lub r= −1,−2,−3,....−10 czyli r∊N lub (r∊C₋ i |r|≤10)