Oblicz granice funkcji A: Oblicz granice funkcji. a_n+1=ln(a_n+1) a₁=0,5

Basia: niech lim_n→+∞a_n = c wtedy c = ln(c+1) a to jest możliwe tylko dla c=0

Adam: Dowód istnienia a_n+1−a_n≤0 zatem ciąg jest monotoniczny, ma granicę przez indukcję, a_n>0, ciąg jest ograniczony, ma skończoną granicę

A: No ale jeśli udowodnimy monotoniczność i że zawsze jest wieksze od 0 to nie jest jednoznaczne ze granica to zero

jc: 0 < 1/2 + 1/n monotonicznie maleje do 1/2, nie do zera.

ASD: Zatem dowód Adama nie wystarczy chyba

karty do gry : Adam pokazał, ze granica istnieje. Basia "pokazała", że jest 0. Wszystko jest poprawnie.

ASD: To samo rozwiązanie Basi nie wystarczy w takim razie?

Basia: gdyby granica nie istniała, albo nie byłaby skończona równanie, które napisałam nie miałoby rozwiązania rozwiązanie go jest automatycznym dowodem na to, że granica istnieje i jest liczbą skończoną oczywiście każdy ciąg malejący i ograniczony z dołu jest zbieżny dowód jest jak najbardziej poprawny, ale nie jest tutaj akurat konieczny

jc: Basiu, a taki ciąg: a₁=2.0

	1		1
an+1=		(		− an) ?
	2		an2

Basia:

	1		1
c =		(		−c)
	2		c2

	1
2c =		−c
	c2

	1
3c =
	c2

3c³=1

	1
c3 =
	3

	1		3√9
c =		=
	3√3		3

	3√9
ciąg jest zbieżny i jego granica jest równa c=
	3

Basia: to wynika z praw działań na ciągach zbieżnych

	1		1
jeżeli lim an = c ⇒ lim an+1=c i lim an2=c2 i lim		=		itd.
	an2		c2

ASD: Czyli sposób na granice ciągu rekurencyjnego to podstawianie C za a_n

jc: To za trudny przykład. A co powiesz na to: a₁=2 a_n+1=1/a_n² ?

jc: ASD, na pewno nie. Spójrz na mój drugi przykład i się przekonasz.

Basia: dokładnie to tak: jeżeli lim a_n istnieje i jest skończona to lim a_n =c to wtedy lim(lewej strony) = lim (prawej strony) czasem tylko powstaje pytanie czy z tą granicą można "wskoczyć" do środka wyrażenia w tym przykładzie oczywiście tak w tamtym z logarytmem też można chociaż to trochę mniej oczywiste inaczej; czy to prawda, że lim ln(1+a_n) = ln(1+lima_n) przy założeniu, że lim a_n =c (jest skończona) jest to prawda

ASD: to kiedy mozna ta metode stosowac?

jc: Ten ciąg na pewno nie jest zbieżny c=1/c², c=1

Basia: praktycznie zawsze, jeżeli granica jest nieskończona wyjdzie sprzeczność jeżeli nie istnieje prawdopodobnie też, ale musiałabym dokładniej sprawdzić

jc: a₁=2 a_n+1=1/a_n² Ciąg nie ma granicy. c=1/c², c=1

Adam: Basia, wykazanie istnienia granicy jest i było konieczne

Basia: a_n+1 = −1*a_n a₁ = 1 ten ciąg nie ma granicy bo to ciąg naprzemienny 1,−1,1,−1..... załóżmy, że lim a_n = c wtedy c=−c 2c=0 c=0 czyli jednak wypadałoby najpierw wykazać, że ciąg ma granicę a_n+1 = 2*a_n a₁=1 ciąg geometryczny; granica to +∞ c=2c c=0 pospieszylam się; jednak należy najpierw pokazać, że ciąg jest zbieżny