matematykaszkolna.pl
(cos^2x)/(1+cos^2x) reltih: ∫ (cos2x)/(1+cos2x) Jak to obliczyć? https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+(cos%5E2x)%2F(1%2Bcos%5E2x)
2 sty 19:06
reltih: próbowałem podstawić t=tg(x/2) , ale wychodzą mi okropne wyniki.
2 sty 19:14
Adamm: może inaczej podstaw t=tgx
2 sty 19:17
Mariusz: Z podstawień wygodniejsze będzie t=tg(x)
2 sty 19:19
jc:
 tg x 
= x − 2−3/2 arctg
 √2 
Mniej więcej tak, jak zaproponował Mariusz.
2 sty 19:28
jc: Widzę, że coś tam na koniec pomyliłem.
 1 2 1 
Dochodzimy do całki z funkcji
=
−
.
 (1+t2)(1+2t2) 1+2t2 1+t2 
t = tg x
2 sty 19:31
reltih: Też podstawiłem t=tgx i dobrze wyszło. dzięki za pomoc.
2 sty 19:35
Mariusz: Z twojego podstawienia otrzymamy t=tg(x/2)
 1−t2 
cos(x)=
 1+t2 
 (1−t2)2 
1+cos2(x)=1+
 (1+t2)2 
 (1+t2)2+(1−t2)2 
1+cos2(x)=
 (1+t2)2 
 2(1+t4) 
1+cos2(x)=
 (1+t2)2 
 2 
dx=
dt
 1+t2 
 (1−t2)2(1+t2)22 
∫
dt
 (1+t2)22(1+t4)1+t2 
 1−2t2+t4 2(1+t4)−(1+t2)(1+t2) 
∫
dt=∫
dt
 (1+t4)(1+t2) (1+t4)(1+t2) 
 1 1+t2 
=2∫
dt−∫
dt
 1+t2 1+t4 
 1+t2 
Jeśli chodzi o całkę ∫
dt
 1+t4 
to nie trzeba jej rozkładać na sumę ułamków prostych
 
 1 
1+
 t2 
 
∫
dt
 
 1 
t2+
 t2 
 
 1 
u=t−
 t 
 1 
du=1+
dt
 t2 
 1 
u2=t2−2+
 t2 
 1 
u2+2=t2+
 t2 
 du 1 
1 
√2 
 
∫
du=
∫
du
 u2+2 √2 
 u 
1+(
)2
 √2 
 
 1 u 
=
arctan(
)
 √2 √2 
 1 t2−1 
=
arctan(
)
 √2 √2t 
 x 1 tg2(x/2)−1 
=2arctg(tg(
))−
arctg(
)
 2 √2 √2tg(x/2) 
 1 √2 
=x−
arctan(−
)
 √2 tg(x) 
 1 √2 
=x+
arctan(
)
 √2 tg(x) 
 1 tg(x) 
=x−
arctan(
)+C
 √2 √2 
2 sty 20:03
Mariusz: Adam trochę mnie ubiegł z tym podstawieniem ale jak pisałem to jego wpisu nie widziałem
2 sty 20:04
jc: t = tg x
 1 
cos2x =
 1+t2 
dt = (1+tg2x) dx
 dt 
dx =
 1+t2 
 cos2x dt 1 1 
∫
dx = ∫
= ∫(
−
)dt
 1+cos2x (2+t2)(1+t2) 1+t2 2+t2 
 1 t 1 tg x 
= atan t −
atan
= x −
atan
 √2 √2 √2 √2 
2 sty 20:24
jc: Mariusz, najpierw proponujesz t=tg x, a potem podstawiasz t=tg x/2.
2 sty 20:25
Mariusz: Chciałem pokazać jak wyglądałoby liczenie podstawieniem zaproponowanym przez niego
3 sty 00:27