Udowodnić, dwumiany newtona MagdaS: Udowodnić w sposób kombi albo algebraiczny. n

	n k
∑k(k+1)		= n(n−1)2n−2

k=2 Próbowałam robić przekształcenia, ale powychodziły jakieś dziwne rzeczy. Chciałam prawą stronę przedstawić jako n

	n k−2
∑		(n−k+1)(n−k+2)

k=2 co niby daje 2ⁿ(n−k+1)(n−k+2), ale nie wiem co można zrobić dalej, i czy w ogóle to dobra droga.

MagdaS: podbijam

g:

	2 2
Coś w tym wzorze jest nie tak. n=2: L=2*3*		=6, P=2*1*20=2

Adamm:

	n k		n k		n k
∑k=2n k(k+1)		= ∑k=2n k2		+ ∑k=2n k

	n k		n*...*(n−k+1)		n−1 k−1
∑k=2n k		= ∑k=2n		= n*∑k=2n		=
			(k−1)*...*1

= n*(2ⁿ⁻¹−1)

	n k		n−1 k−1
∑k=2n k2		= n*∑k=2n k		=

	n−1 k−1
= n*(∑k=1n k		)−n =

	n−1 n−k
= n*(∑k=1n (n−k+1)		)−n =

	n−1 k−1		n−1 k−1
= n*(∑k=1n (n−k)		+		)−n =

	n−2 k−1		n−1 k−1
= n*(∑k=1n (n−1)		+		)−n =

= n*((n−1)*(2ⁿ⁻²−1)+2ⁿ⁻¹)−n = = n²*2ⁿ⁻²+n*2ⁿ⁻²−n² suma = n²*2ⁿ⁻²+3*n*2ⁿ⁻²−n²−n przynajmniej jeśli nic nie pokręciłem

Adamm: z tą ostatnią sumą coś jest nie tak, bo tam powinno być n a nie n² http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+k%5E2*binomial%5Bn,+k%5D+for+k%3D2...n

Adamm: a no tak = n*((n−1)*2ⁿ⁻²+2ⁿ⁻¹)−n = n²*2ⁿ⁻²+n*2ⁿ⁻²−n

	n−2 k−1
∑k=1n		= 2n−2

ja się pomyliłem i napisałem że = 2ⁿ⁻²−1

MagdaS: dobra, ale skoro tak, to wtedy kończąc n((n−1)*2ⁿ⁻²+2ⁿ⁻¹)−n + n*(2ⁿ⁻²−1 = n²2ⁿ⁻²−n2ⁿ⁻²+n2ⁿ⁻¹−n+n2ⁿ⁻²−n= n²2ⁿ⁻²+n2ⁿ⁻¹−2n a to nie jest równe n(n−1)2ⁿ⁻²

Adamm: no nie jest bo ta suma nie jest temu równa

MagdaS: Boże... Źle przepisałam... ok zrobię sobie poprawny dowod sama na bazie pomysłów Adamma powinno być po lewej stronie (k−1) zamiast (k+1) Dziękuję bardzo, zabieram się do roboty. Powinno się udać bez większych problemów.

jc: Ze zbioru n elementowego wybieramy 2 elementy i dodatkowo do innego worka jakiś podzbiór z pozostałych elementów.

	n 2
Możemy to zrobić normalnie tak, jak wyżej. Wtedy mamy		2n−2 sposobów,

a możemy też wybierać k elementowe podzbiory, k≥2, a potem z każdego

	n k		k 2
po dwa elementy. Daje to ∑				sposobów.

O tym mówi dowodzona równość.

MagdaS: Możecie mi jeszcze napisać skąd się bierze

	n−1 k−1		n−1 n−k
n*(∑k=1n k		)−n = n*(∑k=1n (n−k+1)		)n

	n−1 k−1		n−1 n−k
skoro przecież		to to samo co

tzn

(n−1)!		(n−1)!
	=
(k−1)!(n−1−(k−1))!		(k−1)!(n−k)!

Zatem w jakiś sposób (n−k+1) = k i trochę tego nie widzę.

Adamm: następuje zamiana zmiennych k zamieniamy na n−k+1

jc: Zadanie nie wymaga rachunków. Wystarczy moją równość pomnozyć stronami

	k 2
przez 2: 2		=k(k−1).

MagdaS: No ale skoro k może się równać n−k+1, to znaczy, że po takim luźnym przekształceniu n=2k−1 No i wtedy trochę to jest dziwne, bo jak za n w symbolu sumy podstawimy sobie 2k−1, to będziemy dodawali w nieskończoność. Cholera jakoś nie przekonuje mnie takie sobie losowe zamienienie.

Pytający: Sumujesz to samo, ale w odwrotnej kolejności: ∑_k=1ⁿ a_k=a₁+a₂+...+a_n= =a_n+a_n−1+...+a₁=∑_k=1ⁿ a_n−k+1 Zmienną możesz zmieniać do woli, byleby sumować to samo: ∑_k=1ⁿ a_k =∑_k=0ⁿ⁻¹ a_k+1 =∑_k=0ⁿ⁻¹ a_n−k Żadnego losowego zamieniania tu nie ma.

Basia : Przecież dowód jc jest idealny. Prosty i elegancki. A w treści jest: algebraicznie lub kombinatorycznie i to jest właśnie to 😊

Pytający: Zgadzam się, ale zaistniałe (niekoniecznie potrzebnie) wątpliwości warto rozwiać.

MagdaS: Dobra rozumiem, dzięki wam bardzo. Wyszło.