Algebra - czy jest grupą? ktoś: Czy zbiór wszystkich wielomianów stopnia 1 jest grupą w relacji do złożenia funkcji (superpozycji?) Jeśli tak czy jest to grupa abelowa? Miałem takie zadanie na kolosie i ogólnie wiem jak rozwiązywać zadania ze sprawdzaniem czy coś jest grupą, ale w tym wypadku (złożenie funkcji) miałem z tym niemały problem, więc prosiłbym o wytłumaczenie

ktoś: Czy zbiór wszystkich ZESPOLONYCH wielomianów Niedopisalem jednego slowa

Adamm: W(x)=ax+b V(x)=cx+d gdzie a, c≠0 (W○V)(x)=acx+ad+b (V○W)(x)=acx+bc+d na to by wielomiany były równe bc+d=ad+b dla a=1, b=1, c=−1 nie zachodzi czyli nie jest to grupa

Adamm: nie jest to grupa abelowa pomieszałem

jc: Wystarczy pokazać, że 1. identyczność jest w rozważanym zbiorze jest, bo x jest wielomianem stopnia 1 2. złożenie dwóch funkcji wielomianowych stopnia 1 jest wielomianem stopnia 1 a(cx+d)+b = ac x + (ad+b), jesli a,c≠0, to ac≠0 3. funkcja odwrotna ... y=ax+b, a≠0, x=(1/a)y−(b/a), wielomian stopnia pierwszego.

ktoś: Dzięki. Mogłbyś jeszcze krótko wyjasnic na czym polega kompozycja funkcji? Bo na tym głownie poleglem.

ktoś: Teraz to już "czy moglibyście" bo widze ze 2 odpowiedzi są 

Janek191: superpozycja ! − złożenie funkcji

ktoś: Miałem na mysli na czym poelga "złożenie funkcji". Sylwestrowy dzien nie dziala na mnie dobrze

Adamm: (W○V)(x)=acx+ad+b również jest takim wielomianem więc jeśli W∊G oraz V∊G to W○V∊G czyli zachodzi wewnętrzność W○V○T=(W○V)○T=W○(V○T) no to jest akurat oczywiste, więc łączność zachodzi I(x)=e₁x+e₀, e₁≠0 (W○I)(x)=W(x)=(I○W)(x) ae₁x+ae₀+b=ax+b=ae₁x+e₁b+e₀ ae₁=a ⇒ e₁=1 (bo a≠0) b+e₀=b ⇒ e₀=0 czyli istnieje jednoznaczny element neutralny, I(x)=x (W○V)(x)=I(x) acx+ad+b=x ac=1 ⇒ c=1/a (a≠0) ad+b=0 ⇒ d=−b/a (a≠0) czyli istnieje jednoznaczny element odwrotny V(x)=(1/a)x−b/a czyli jest to grupa

ktoś: Dzięki. Już sam zrobiłem przykład i wszystko rozumiem.