bardzo proszę o pomoc Miki: 1.Dla jakic liczb naturalnych n liczba 14ⁿ−9 jest pierwsza? 2.Oblicz NWD(n²+6, n+1). Odpowiedź uzasadnij.

Basia: ad.1 na pewno n nie może być parzyste bo dla n=2k mamy 14^2k−3² = (14^k)²−3² = (14^k−3)(14^k+3) czy jednak wystarczy żeby było nieparzyste? prawie na pewno wystarczy, ale trzeba się zastanowić jak to uzasadnić ad.2 nie bardzo rozumiem o co tu chodzi

PW: 14¹−9=5 jest liczbą pierwszą. 14³−9 jest liczbą o ostatniej cyfrze 5, a więc nie jest liczbą pierwszą. Jaka jest ostatnia cyfra liczby 14⁵−9 ?

Basia: 3 ⇒ 5 5 ⇒ 0 i potem już same 0 nie pomyliłam się? czyli tylko dla k=1

Adamm: NWD(n²+6, n+1) = NWD( n²+6−(n+1)², n+1) = NWD( −2n+5, n+1) = = NWD(7, n+1) = 7 dla 7|(n+1) oraz = 1 dla 7 nie dzielącego n+1

Miki: Ile trzycyfrowych liczb naturalnch jest sumą dokładnie 9 różnych liczb całkowitych, z których każda jest potęgą liczby 2 (dopuszczamy potęgę 2⁰)?. prawidłowy wynik to 5. Proszę o wytłumaczenie.

Miki: Czy zawsze spośród 20 dowolnych liczb całkowitych można wybrać 5 takich liczb, których suma jest podzielna przez 5?

Miki: Adam możesz wytłumaczyć dlaczego NWD( n2+6−(n+1)2, n+1)?

Basia: Jeżeli wśród tej dwudziestki będzie przynajmniej 5 liczb, które dają taką samą resztę to na pewno tak. A jeżeli takiej piątki (ani szóstki, siódemki itd.) nie będzie to muszą być: 4 dające resztę 0 4 dajace resztę 1 4 dające resztę 2 4 dające resztę 3 4 dające resztę 4 no to teraz mogę wybrać po jednej z każdego rodzaju i suma będzie podzielna przez 5 czyli ZAWSZE

Adamm: NWD(a, b)=d ⇔ d jest maksimum z liczb takich że d|a oraz d|b NWD(a−n*b, b)=d₁ ⇔ d₁ jest maksimum z liczb takich że d₁|(a−nb) oraz d₁|b ale d|(a−nb) oraz d|b ⇔ d|a oraz d|b zatem wnioskujemy że to ta sama liczba

Miki: Dziękuję sedecznie wszystkim za pomoc.