Potęgi niewiadome Master: (√5+2√6)^x +(√5−2√6)^x=10 x=? Jak się powinno rozwiązywać takie rzeczy, bez zgadywania wyniku, który tu wynosi 2?

Basia : t=√5+2√6

1
	=√5−2√6
t

	1
tx+		=10
	tx

(t^x)²+1=10t^x (t^x)²−10t^x+1=0 Delta=100−4=96=2•48=4•24=4•4•6=16•6 √Delty=4√6

	10−4√6
tx =		=5−2√6
	2

(√5+2√6)^x =5−2√6 czyli x=−2 lub

	10+4√6
tx=		=5+2√6
	2

(√5+2√6)^x=5+2√6 czyli x=2

PW: Master, zgadywanie wyniku jest najlepszą metodą − żadnych paskudnych rachunków, jedno z rozwiązań mamy natychmiastowo. Niech autor zadania powie: − Za łatwe to było. Jedyny kłopot dla Ciebie to sprawdzić, czy nie ma innych rozwiązań oprócz liczby 2.

	1
Po stwierdzeniu, że √5−2√6=		wystarczy następujące rozumowanie.
	√5+2√6

Jeżeli dla y≠x jest

	1		1
ax+		= ay+		,
	ax		ay

to

	1		1
ax−ay =		−
	ay		ax

	ax−ay
ax−ay =		,
	ax+y

w więc musi być a^x+y=1, co oznacza x+y =0, czyli y = −x. Wniosek: Oprócz liczby 2 rozwiązaniem jest też liczba −2 (i żadna inna).

Master: Dziękuję ślicznie