liczby Gaz: Niech a, b rzeczywiste i takie że a³ = 3ab² + 11 b³ = 3a²b + 2 Oblicz wartość a² + b²

Gaz: Czy to zadanie jest takie trudne

Gaz:

Gaz: To zadnie z wzorów skróconego mnożenia

poland: ze wzoru: x³ + y³ = (x+y)(x²−xy+y²) zatem

	x3+y3
x2 − xy + y2 =
	x+y

	x3+y3
x2 + y2 =		+ xy
	x+y

a wiec

	a3+b3		3ab2+11+3a2b+2		3ab(b+a)+13
a2+b2 =		+ ab =		+ ab =		=
	a+b		a+b		a+b

	13		13
= 3ab +		+ ab = 4ab +
	a+b		a+b

− czy wynik mial byc liczba>?

Gaz: tak wynik ma być liczbą

poland: strzelaj. a=−1 b=2 pasuje

Gaz: ale to nie ma byc co trafie tylko tak ogólnie na wzorach

Gaz: Może ktoś mi pomóc z tym

mat: a³=3ab²+11 b³=3a²b+2 a³b=3ab³+11b b³a=3a³b+2a a³b+b³a=3ab(b²+a²)+11b+2a

	a3b+b3a−11b−2a
a2+b2=
	3ab

PW: Niech k będzie taką liczbą rzeczywistą, że b−ka. Dane równości mają wówczas postać a³=3a³k² +11 k³a³=3ka³+2, skąd a³(1−3k²)=11 a³(k³−3k)=2, co po podzieleniu stronami daje

	1−3k2		11
		=
	k3−3k		2

2−6k²=11k³−33k 11k³+6k²−33k−2=0 Widać, że k=−2 jest rozwiązaniem oraz lewą stronę można przedstawić w postaci iloczynu (k+2)(11k²−16k−1), Dla k = −2 łatwo wyliczamy, że a=−1 i b =−2, a więc a²+b² = 5. Trójmian 11k²−16k−1 ma wyróżnik Δ=300, √Δ=10√3. Trzeba się zastanowić, czy miejsca zerowe trójmianu k₁ lub k₂ dają inne rozwiązania.

PW: Korekta. W drugim wierszu ma być b=ka

PW: Jeszcze jedna korekta, dla k=−2 łatwo wyliczamy, że a=−1 i b=2 itd.

Gaz: Kolega mi napisał tak: a³−3ab²=11 b³−3a²b=2 Podnosimy obie strony do kwadratu a następnie dodajemy stronami równania i a⁶+3a⁴b²+3a²b⁴+b⁶=125 (a²+b²)³=5³

jc: (a+bi)³ = (a³−3ab²) + (3a²b−b³)i=11−2i porównujemy kwadraty modułów (a²+b²)³ = 11²+2²=121+4=125 a²+b²=5

Gaz: co to i?

jc: Taki symbol. i² = −1.

PW: Tak też myślałem, że istnieje rozwiązanie bardzo proste. Cóż, jest proste, gdy je widzimy.