twierdzenie o ciagu monotonicznym i ograniczonym majk: chodzi mi bardziej o sprawdzenie, rozwiązywałem z wujkiem google, ale chyba niezbyt rozumiem też rozwiązanie dany był ciąg określony rekurencyjnie i z tw podanego w temacie należało uzasadnić zbieżność tego ciągu c₁=2 c_n+1=√6+c_n badałem więc różnicę: c_n+1−c_n=√6+c_n−c_n √6+c_n−c_n?>?0 w internecie podnoszą to do kwadratu i rozwiązują równanie kwadratowe względem c_n wychodzą dwa rozwiązania c_n1=−2 i c_n2=3 i na tej podstawie stwierdzaja, że ciag jest rosnacy i ograniczony przez c₁ z dołu i jakieś c_x=3, więc jest zbieżny ale tak naprawdę co oni tutaj obliczyli? czy chodzi o to, że tworzy się funkcję f(c_n) i z racji tego, że c₁=2 to wnioskuje się po jej pierwiastkach, że jest rosnąca? ale np gdyby c₁=−6, to wychodzą również takie same pierwiastki, ale czy również dałoby się wtedy stwierdzić tym samym sposobem to samo? że jest ograniczony z góry przez 3, a nie przez −2?

jc: Rozumowanie jest takie. Pokazujemy, że ciąg jest monotoniczny i ograniczony. Daje to zbieżność. Wiedząc, że ciąg jest zbieżny, znajdujemy możliwe wartości granicy. Granica spełnia równanie: g=√6+g, co oznacza, że g=3.

majk: czyli dodatkowo przy ciągach określonych rekurencyjnie, granica również musi spełniać równanie rekurencyjne, tak?

g: Znaleźli c_x z równania 0 = √6+c_x − c_x. Odrzucamy c_x=−2, bo umawiamy się, że bierzemy tylko wartość główną pierwiastka. Zostaje c_x=3. Jeśli ten ciąg w ogóle ma granicę, to ona musi być równa 3. Granicę ma bo jest monotoniczny i ograniczony. c_n ∊ [2,3): c_n < √6+c_n < 3 Lewa nierówność świadczy o monotonicznym wzroście, prawa o ograniczoności.