równanie Lok: Niech x₁<x₂<x₃ będą rowiązaniami równania trzeciego stopnia x³−3x−1=0 . Oblicz

	x23−x22
		=?
	x3−x1

kochanus_niepospolitus: Skąd masz takie zadanie? Na jakim poziomie nauczania jesteś ?

Lok: Studia

Mila: 1

Mila: wzory Cardano Δ<0 − 3 rozwiązania rzeczywiste

kochanus_niepospolitus: 2) wiadomo, że x₃ > 0 > x₂ > x₁ (bo tylko wtedy możliwe jest x₁+x₂+x₃ = 0 oraz x₁*x₂*x₃ = 1)

kochanus_niepospolitus: z jakiego przedmiotu jest to zadanie ?

Lok: z agebry

Mila: Artur próbowałam z wzorów Viete'a, ale jakoś nie widziałam prostej drogi do celu. LOK, co masz w teorii z równań tego typu?

Mila: https://om.edu.pl/sites/default/files/zadania/oboz/oboz2015.pdf

Mila: x³−3x−1=0 1) w(x)=x³−3x−1 nie ma pierwiastków wymiernych 2) a=1, p=−3, q=−1

	p		q		1
Δ=(		)3+(		)2=(−1)3+		<0⇔równanie ma 3 różne pierwiastki rzeczywiste
	3		2		4

	α+2kπ
xk+1=2*√−p/3)cos
	3

	α+2kπ
xk+1=2*cos		i x1<x2<x3
	3

	3q
gdzie cosα=
	2p*√−p/3

	3*(−1)		1
cosα=		=
	2*(−3)*√1		2

α∊(0,π) − funkcja malejąca, różnowartościowa

	1
cosα=
	2

	π
α=
	3

zmieniam numerację pierwiastków, aby zachodziła nierówność: x₁<x₂<x₃

	π
x3=2*cos		>0
	9

	5π
x2=2*cos		<0
	9

	7π
x1=2*cos		<0
	9

Licznik:

	π		5π		2π		10π
x32−x22=4*cos2		−4cos2		=2cos		−2cos		=
	9		9		9		9

	2π		π
=2cos		+2cos
	9		9

Mianownik:

	π		7π		π		2π
x3−x1=2*cos		−2*cos		=2*cos		+2cos
	9		9		9		9

	2π   π   2cos +2cos   9   9
w=		=1
	π   2π   2*cos +2cos   9   9