Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby całkowitej n liczba (n^2 -1)(n+3) jest karolina: Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby całkowitej n liczba (n² −1)(n+3) jest podzielna przez 48.

karolina: uzył tych podpowiedzi Skorzystanie z wzoru skróconego mnożenia – różnicy kwadratów Zauważenie i zapisanie wniosku, że dany iloczyn jest to iloczyn trzech kolejnych liczb parzystych, wśród których co najmniej jedna jest podzielna przez 4− wykazanie podzielności iloczynu przez 16 Zauważenie i zapisanie wniosku, o tym że wśród trzech kolejnych liczb parzystych dokładnie jedna jest podzielna przez 3−wykazanie podzielności iloczynu przez

Jack: Niech n = 2k + 1, k ∊ C (żeby była nieparzysta) wtedy n²−1 = (2k+1)² − 1 = 4k² + 4k + 1 − 1 = 4k² + 4k = 4(k²+k) n+3 = 2k+1 + 3 = 2k+4 = 2(k+2) zatem (n²−1)(n+3) = 4(k²+k) * 2(k+2) = 8(k²+k)(k+2) = 8k(k+1)(k+2) Aby liczba 8k(k+1)(k+2) była podzielna przez 48, to k(k+1)(k+2) musi byc podzielne przez 6, bo 48/8=6. Wyrazenie k(k+1)(k+2) to 3 kolejne liczby calkowite, zatem co najmniej jedna z nich jest parzysta(podzielna przez 2) oraz jedna jest podzielna przez 3. Stad ich iloczyn jest podzielny przez 6. c.k.d.

karolina: dziękuję♥