zad omikoron: Wykaż, że funkcja f(x)=9−x²/x²−1 ma dokładnie jedno ekstremum lokalne i określ, czy to jest minimum czy maksimum.

Jerzy: Pochodną potrafi policzyć ?

jc: Funkcja stała, f(x)=8.

Maciess:

	−16x
f'(x)=
	(x2−1)2

Mianownik jest zawsze dodatni więc zajmujemy się tylko licznikiem, bo to on określi nam znak pochodnej. −16x=0 x=0 Wykresem będzie linia prosta ( a ujemne ) więc występuje maksimum lokalne w x=0. Dolicz dziedzinę, bo zawsze za to punkty ujmują (true story)

Jerzy: Co za brednie ? Maksimum dlatego ,że "wykresem będzie linia prosta" ? Poczytaj trochę na temat warunku wystarczjącego istnienia ekstremum funkcji.

Maciess: Zrobiłem tak jak uczyli w szkole

Jerzy: To kiepskie szkoły brałeś.

Maciess: Ciągle się uczę Może źle to ująłem. Warunkiem wystarczającym jest to, żeby funkcja pochodna w pobliżu miejsca zerowego zmieniła swój znak ( z − na + lub odwrotnie), tak? W tym przypadku mamy mianownik podnoszony do kwadratu czyli jest on nieujemny. Znak pochodnej

	−		+
jest zależny od licznika gdyż		lub		więc dalej zajmuje się tylko licznikiem.
	+		+

Wykresem −16x (ten przykład) jest linia prosta. Dla x<0 f'(x)>0 x>0 f'(x)<0 czyli zmiana znaku z + na −. Na tej podstawie stwierdzam, że występuje tam ekstremum a konkretnie maksimum lokalne. Tak mi to przedstawił nauczyciel na lekcji i tego się trzymam. Jeśli sposób jest zły to proszę powiedzieć dlaczego

Jerzy: Teraz jest wszystko OK. Pochodna w pumkcie x = 0 zmienia znak z dodatniego na ujemny, a więc funkcja posiada w tym punkcie maksimum lokalne. ( Nie ma tutaj żadnego znaczenia,że wykres licznika jest prostą.Równie dobrze może być parabolą lub wykresem innej funkcji )

Maciess: Tak wiem, niesprecyzowałem tego a chciałem tylko powiedzieć, że jesli funkcja liniowa ma miejsce zerowe to na pewno występuje zmiana znaku

Jerzy: Widzę,że wiesz "o co biega", ale staraj się wyrażać nieco precyzyjniej.W końcu to matematyka

omikoron: dzięki za pomoc