granica
analiza: Mamy ciag (xn): lim xn(x12+x22+...+xn)2=1. Oblicz lim 3√3n*xn, przy n→∞.
21 gru 22:28
Blee: Ostatnia potega jest ZA NAWIASEM
Czy w nawiasie
21 gru 23:11
jc: Na pewno pomyłka. Wydaje mi się, że granica wynosi 1.
21 gru 23:22
jc: Ciąg xn = 1/3√3n spełnia założenia. Dla tego ciągu druga granica wynosi 1.
Czy tak będzie dla dowolnego ciągu spełniającego założenia?
21 gru 23:43
analiza: ale co pomyła?
22 gru 07:01
kochanus_niepospolitus:
chodzi oto że zapisałeś (x12+x22+...+xn)2
a zapewne winno być (x12+x22+...+xn2)
22 gru 07:55
analiza: Ok tak rzeczywiście pomyłka niezauwazona, ajk policzyc w takim razie te granice?
22 gru 08:21
Adam: Jeśli założymy istnienie tej granicy, i wynosi ona g (g∊R, g≠0)
Ale po zastosowaniu tw. Stolza, →1/g
2
Zatem g=1
Przy tych założeniach
22 gru 11:07
jc: Uzupełnię rachunek Adama.
Zał. że x
n 3√n →h
Wtedy
| x12+...+xn2 | | xn(x12+...+xn2) | | 1 | |
| = |
| → |
| |
| 3√n | | 3√nxn | | h | |
Tw. Stolza
| | x12+...+xn2 | | xn2 | |
lim |
| = lim |
| = |
| | 3√n | | 3√n−3√n−1 | |
| | (3√nxn)2 | | h2 | |
lim |
| = |
| |
| | (3√n)2(3√n−3√n−1) | | 1/3 | |
a więc h=1
3√3.
Pozostaje jednak pytanie, czy ciąg x
n 3√n jest zbieżny,
22 gru 11:27
Adam: bo tam było 3n
22 gru 11:30
jc: Wiem, ale nie chciałem ciągnąć trójki przez cały rachunek. Dlatego użyłem litery h zamiast g.
h=1/3√n.
22 gru 11:39
jc: h=1/3√3. Wreszcie dobrze.
22 gru 11:53