równanie wymierne z parametrem kol:

	1		1		(m+1)
zbadaj liczbę pierwiastków równania:		+		=		w zależności od
	(x−m)		(x−1)		m

parametru m. Po przekształceniach wyszło mi: (m+1)x² − (m² − 4m + 1)x + 2m(m+ 1) = 0 Z tego delte jest trudno obliczyć

Adamm: na pewno x=m+1 (dla m≠0) 0=(m+1)x²−(1+4m+m²)x+2m(m+1)

	2m
teraz dla m≠−1, drugi pierwiastek to musi być x=		(ze wzorów Viete'a)
	m+1

	2m
jeśli		=m+1 to mamy jeden, jeśli ≠ to 2
	m+1

Basia: Założenia: x≠1 i m≠0 i x≠m

x−1+x−m		m+1
	=
(x−m)(x−1)		m

2x−m−1		m+1
	=
(x−m)(x−1)		m

2x−(m+1)		m+1
	=
(x−m)(x−1)		m

m[2x−(m+1)] = (x−1)(x−m)(m+1) 2mx − m(m+1) = (x²−mx−x+m)(m+1) 2mx − m(m+1) = (m+1)x² −x(m+1)² + m(m+1) (m+1)x² −x(m²+2m+1−2m) + 2m(m+1) = 0 (m+1)² − (m²+1)x +2m(m+1) = 0 Sprawdź która z nas się pomyliła. Tu już nie byłoby trudno

kol: do Adamm − proszę wyjaśnij to trochę bardziej

Adamm: oddaję inicjatywę Basi

kol: Basiu − jak liczyć tu deltę?

Basia: (m+1)x² − (m²+1)x +2m(m+1) = 0 dla m=−1 mamy −2x=0 x=0 czyli jeden pierwiastek Δ=(m²+1)² − 8m(m+1)² Δ=m⁴+2m²+1 − 8m(m²+2m+1) Δ=m⁴+2m²+1−8m³−16m²−8m Δ=m⁴−8m³−14m²−8m Δ=m(m³−8m²−14m−8) m≠0 m³−8m²−14m−8 = 0 albo się pomyliłam, albo to jest nie całkiem proste, bo wielomian w(m)=m³−8m²−14m−8 ma miejsce(a) zerowe tyle, ze one są prawdopodobnie niewymierne Adamm a co będzie dla m=−1 i m=1? Bo jak dla mnie tylko jeden pierwiastek. Natomiast z Twojego rozwiązania wynika, że zawsze są dwa, ponieważ równanie

2m
	=m+1 nie ma rozwiązania
m+1

Rzecz chyba w tym, że wzory Viete'a można stosować tam i tylko tam gdzie Δ>0

Basia: poprawka: dla m=1 (bo dla m=−1 to z czego innego wynika i uwzględniłeś) m=1 tak sobie strzeliłam i mamy równanie

1		1		1+1
	+		=
x−1		x−1		1

2		2
	=
x−1		1

2(x−1)=2 x−1=1 x=2 i jest jedno rozwiązanie z tego też wynika, że dla m=1 Δ=0 a ponieważ nie jest więc gdzieś musi być błąd rachunkowy

Basia: Wszędzie są pomyłki. Powinno być tak. Założenia: x≠1 i m≠0 i x≠m

1		1		m+1
	+		=
x−m		x−1		m

x−1+x−m		m+1
	=
(x−m)(x−1)		m

2x−(m+1)		m+1
	=
(x−m)(x−1)		m

2mx − m(m+1) = (x²−x−mx+m)(m+1) [x²−(m+1)x+m](m+1) − 2mx + m(m+1) = 0 (m+1)x² − (m+1)²x + m(m+1) − 2mx + m(m+1) = 0 (m+1)x² − (m²+2m+1+2m)x + 2m(m+1) = 0 (m+1)x² − (m²+4m+1)x + 2m(m+1) = 0 dla m = −1 mamy 2x=0 x=0 czyli jeden pierwiastek dla m≠−1 Δ= (m²+4m+1)² − 8m(m+1)² Δ= m⁴+16m²+1+8m³+2m²+8m−8m³−16m²−8m Δ=m⁴+2m² = m²(m²+2) i jest dodatnia dla każdego m≠0 Jak zauważył Adamm jednym z pierwiastków jest x₁=m+1 x₁*x₂ = 2m

	2m
x2 =
	m+1

ponieważ w założeniach jest x≠m musi być: m+1≠m (tak jest zawsze) i

2m
	≠m
m+1

2m≠m(m+1) /:m (bo m≠0) 2≠m+1 m≠1 i wtedy sprawdzamy "ręcznie", że dla m=1 jest jeden pierwiastek x=2 Ostatecznie: dla m=−1 i dla m=1 mamy jeden pierwiastek dla m=0 równanie nie ma sensu dla m≠0 i m≠−1 i m≠1 mamy dwa pierwiastki