Znaleźć zbiór wartości funkcji Bok: Jak znaleźć zbiór wartości funkcji (x²+x+1)/x²−x+1) Policzyłem granice i wychodzi 1. Co dalej?

Bok: Wpadłem teraz na pomysł żeby policzyć ekstrema i pochodna. Czy to dobry pomysł?

PW: Ani ekstrema lokalne, ani pochodna (?!), ani granice nie dadzą odpowiedzi na pytanie o zbiór wartości. Trzeba po prostu odpowiedzieć na pytanie, dla jakich w∊R równanie f(x) = w ma rozwiązanie.

Basia: Dobry, bo funkcja jest ciągła. Można też sprawdzić dla jakich a równanie

x2+x+1
	= a
x2−x+1

ma rozwiązanie.

Mila: II sposób D=R

x2+x+1
	=w⇔
x2−x+1

x²+x+1=wx²−wx+w x²−wx²+x+wx+1−w=0 x²*(1−w)+x*(1+w)+1−w=0 Sprawdzamy dla jakich w równanie ma rozwiązanie; 1) 1−w=0⇔w=1 0*x²+x+1−1=0⇔x=0 2) Δ≥0 Δ=(1+w)²−4*(1−w)*(1−w)=1+2w+w²−4(1−2w+w²)=−3w²+10w−3 −3w²+10w−3≥0⇔

	1
w∊<		,3>
	3

	1
Zwf=<		,3>
	3

Basia: PW tutaj akurat dadzą, bo lim_x→±∞ f(x) = 1 i funkcja jest ciągła.

PW: Granica funkcji w nieskończoności czy ciągłość nijak się mają do zbioru wartości.

Basia: Mają. Jeżeli funkcja jest ciągła to przyjmuje wszystkie wartości pośrednie między wartością największą i najmniejszą. Jeżeli dodatkowo w nieskończoności nigdzie nie "ucieka" to minimum jest wartością najmniejszą, a maksimum największą. Problem pojawia się dopiero wtedy, gdy w jakimś punkcie funkcja nie jest określona i/lub któraś z granic jest niewłaściwa, albo wtedy gdy minimum/maksimum nie jest wartością najmniejszą/największą. Teoretycznie należałoby to udowodnić.

jc: 0 ≤ 2 (x−1)² = 3(x²+x+1)−(x²−x+1) 0 ≤ 2 (x+1)² = 3(x²−x+1)−(x²+x+1)

	x2+x+1
1/3 ≤		≤ 3
	x2−x+1

x=−1 daje równośc po lewej stronie, a x=1 równośc po prawej, Z ciągłości wynika, że szukanym obrazem jest odcinek [1/3, 3].

jc: A jaki będzie zbiór wartości funkcji

	x4+x3+x2+x+1
x →		?
	x4−x3+x2−x+1

jc: Mała pomyłka. Powinno być tak: 0 ≤ 2 (x−1)² = 3(x²−x+1)−(x²+x+1) 0 ≤ 2 (x+1)² = 3(x²+x+1)−(x²−x+1)

Bok: Nie wiedziałem ze istnieje tyle różnych Sposobów zbadania zbioru wartości. Wyszło mi ze największa wartość to 3 a najmniejsza to To 1/3.