Wykaż, że ... Lila: Wykaż, że istnieje jedna liczba naturalna spełniająca równanie

	1		x2		1		x3		1
x−		+		−		+		−		+.... =1
	2x		2		4x		4		8x

Basia:

	x2		x3		1		1		1
= (x+		+		+.....)−(		+		+		+.....)
	2		4		2x		4x		8x

	x
w pierwszym nawiasie mamy ciąg geometryczny, w którym a1=x q=
	2

	1		1
w drugim również ciąg geometryczny, w którym b1=		q=
	2x		2

	1
drugi ciąg na pewno jest zbieżny bo |q|=		<1
	2

	1		1		1
Sb =		=		=		= 2
	1−q		1−12		12

zatem ciąg pierwszy też musi być zbieżny i jego suma musi być równa 3 ciąg a_n jest zbieżny gdy |^x₂|<1 stąd: |x|<2 czyli x∊(−2,2)

	1		1		2
Sa =		=		=		= 3
	1−x2		2−x2		2−x

2 = 3(2−x) 2 = 6 − 3x 3x = 4 x=⁴₃

PW: To właściwie "zgadywanka". Co jest po lewej stronie dla x=1?

Basia: Dlaczego zgadywanka?

Lila: Dzięki Basiu

PW: Lila, za co dziękujesz? Basia nie wykazała ani że jest to liczba naturalna, ani że jest to jedyna liczba spełniająca równanie.

iteRacj@: @Basiu w sumach wyrazów obu ciągów brakuje a₁, b₁ przecież suma wszystkich wyrazów ciągu zależy od tego, jak "startujemy" czyli od pierwszego wyrazu

	a1
Sa =
	1−q

a₁ = x, przy założeniu |q|<1

	x		2x
Sa =		=
	x   1−   2		2−x

	b1
Sb =
	1−q

	1
a1 =		, przy założeniu |q|<1
	2x

	1   2x		1   2x		1
Sb =		=		=
	1   1−   2		1   2		x

stąd

	2x		1
Sa + Sb =		+		= 1
	2−x		x

Basia: Oczywiście, nie wiem gdzie mi zginęlo. Wynik rzecz jasna będzie inny.

iteRacj@: rozwiązaniem tego równania są liczby 1,2 (x−1)(x−2) =0 2 nie należy do (−2,2) jedynym rozwiązaniem naturalnym jest 1

iteRacj@: i już wiadomo skąd pytanie PW z 19:52 o x=1

Adamm: szereg może być zbieżny dla więcej x niż dla których zbieżne są te szeregi miejmy to na uwadze

iteRacj@: a ten jest zbieżny dla innej liczby naturalnej niż 1?

Adamm: nie wiem może po prostu nie można mówić że to jedyne rozwiązanie, bo niekoniecznie tak jest

PW: Ciąg sum częściowych S_k dla x=n, n∊N i n > 2 ma wyrazy większe od 2:

	1		n2
S3 = n−		+		> 2 (oczywiste, jest jeden ujemny ułamek o wartości bezwzględnej
	2n		2

mniejszej niż 1)

	1		n2		1
S4 = n−		+		−		> 2 (oczywiste, są dwa ujemne ułamki o wartościach
	2n		2		4n

bezwzględnych mniejszych niż 1) itd. (nie chce mi się zapisywać tego bardzo formalnie). Nie zastanawiając się więc, czy granica S_k dla k→∞ (suma szeregu po lewej stronie) istnieje, mamy pewność, że nie może ona być równa 1.