Rozwiąż równanie: pierwiastek: Rozwiąż równanie w zbiorze liczb naturalnych dodatnich wiedząc, że x <= y <= z 1/x + 1/y + 1/z + 1/xy + 1/xz + 1/yz + 1/xyz = 1

Adamm: 1+x+y+z+xy+xz+yz=xyz (x+1)(y+1)(z+1)=xyz równanie sprzeczne

Adamm: nie, chwila (x+1)(y+1)(z+1)−xyz=xyz (x+1)(y+1)(z+1)=2xyz

pierwiastek: Przecież: (x+1)(y+1)(z+1) = xyz xyz+xy+xz+x+yz+y+z+1 = xyz 1+x+y+z+xy+xz+yz = 0 / : (xyz) 1/xyz + 1/yz + 1/xy + 1/xz + 1/x + 1/y + 1/z = 0

pierwiastek: no tak, z tym: (x+1)(y+1)(z+1)=2xyz się zgadzam, ale dalej nie wiem jak to dokończyć

jc: x=1 daje yz=(1+y)(1+z) sprzeczność, a więc x≥2. 2=(1+1/x)(1+1/y)(1+1/z) ³√2≤(3+1/x+1/y+1/z)/3 3/4 < 3(³√2−1)≤1/x+1/y+1/z I masz jakieś ograniczenia górne na x, y, z (niezupełnie, ale po rozpatrzeniu najmniejszych x,y,z, już tak).

jc: Pewnie jedynym rozwiązaniem jest 3,4,5.

jc: No tak, 3/4 < 1/x + 1/y + 1/z ≤ 3/x, czyli x < 4. Mamy tylko dwie możliwości: x=2 i x=3. Dla x=2 mamy 1/4 < 1/y+1/z ≤ 2/y, czyli y < 8, co oznacza y≤7. Trochę sprawdzania zostaje. y=2,3,4,5,6,7. Dla x=3 mamy 3/4−1/3 < 2/y, y<24/5, y≤4. Dwa przypadki y=3 i y=4.