Wykaż, że: Madzia: Wykaż, że: a) dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich zachodzi nierówność: ^a3_b²+^b3_c²+^c3_a²≥^a2_b+^b2_c+^c2_a (tu jest dość nieczytelnie, po lewej stronie nierówności chodzi o ułamki: a do sześcianu przez b do kwadratu, b do sześcianu przez c do kwadratu i c do sześcianu przez a do kwadratu) b) dla a,b,x większych od 0 i ab = 1 zachodzi nierówność: (x+a)(x+b) ≥ (x+1)² c) dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich oraz abc = 1 zachodzi nierówność: (x+a)(x+b)(x+c)≥(x+1)³ d) dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich oraz a+b+c=3 zachodzi nierówność: (x+a)(x+b)(x+c)≤(x+1)³ e) dla dowolnych liczb naturalnych zachodzi nierówność: ¹_√1+¹_√2+¹_√3+...+¹_√n≥√n

kochanus_niepospolitus:

	1
zapisz to jeszcze raz ale tym razem użyj U		a nie u 1√2 do zapisu ułamków
	√2

Mila: b) dla a,b,x większych od 0 i ab = 1 zachodzi nierówność: (x+a)(x+b) ≥ (x+1)² L=x²+bx+ax+ab=x²+x*(a+b)+1≥x²+1+2*√a*b*x=x²+2x+1=(x+1)² korzystamy z zależności: a+b≥2√ab, gdzie a≥0 i b≥0 równość dla a=b

jc: 1/√1 ≥ 1/√n 1/√2 ≥ 1/√n 1/√3 ≥ 1/√n ... 1/√n ≥ 1/√n Dodajesz stronami i otrzymujesz 1/√1+1/√2+1/√3+...+1/√n ≥ n/√n=√n

PW: d) Z założenia wynika, że x+a + x+b + x+c = 3x+3, a więc

	(x+a) + (x+b) + (x+c)
(*) x+1 =		≥ 3√(x+a)(x+b)(x+c),
	3

skąd (x+1)³ ≥ (x+a)(x+b)(x+c) nierówność w (*) jest zastosowaniem nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną dla trzech składników. Nierówność jest prawdziwa, gdy x+a>0 i x+b>0 i x+c>0.

Mila: Dobranoc

Adamm: c) (x+a)(x+b)(x+c)=x³+(a+b+c)x²+(ab+ac+bc)x+abc

a+b+c
	≥3√abc ⇒ a+b+c≥3
3

ab+ac+bc
	≥3√a2b2c2 ⇒ ab+ac+bc≥3
3

x³+(a+b+c)x²+(ab+ac+bc)x+abc≥x³+3x²+3x+1 (x+a)(x+b)(x+c)≥(x+1)³