CIagi 5-latek: Twierdzenie Niech a_n ma wyrazy niezerowe oraz zachodzi jeden z warunkow 1) limn→∞ⁿ√|a_n|<1

	|an+1
2) limn→∞		<1
	|an|

to limn→∞ a_n=0 Znalazlem takie tweirdzenie gdzie nie ma podanych przykladow i jakiegos prostego wyjasnienia Wiec prosilbym o wyjasnienie i podanie jakiegos przykladu na zastosowanie tego tweirdzenia . dziekuje

Mila: (2)

	n10
an=
	2n

	an+1
Licz granicę
	an

5-latek: Milu Ty chyba kiedys pokazywalas gosciowi

Adamm:

|an+1|
	→g<1 czyli od pewnego miejsca
|an|

0<|a_n+1|<|a_n| ciąg |a_n| więc jest monotoniczny i ograniczony, a więc ma granicę ta granica oczywiście jest skończona, i musi być g=0 b o jeśli g≠0 to od razu z tw. o arytmetyce ciągów mielibyśmy

	|an+1|
limn→∞		= 1, a tak nie jest
	|an|

czyli od razu mamy wniosek lim_n→∞ a_n = 0 przykład

	1/2n+1
limn→∞		= limn→∞ 1/2 = 1/2 <1
	1/2n

więc lim_n→∞ 1/2ⁿ = 0

Mila: Tak. Inny przykład:

	2n*32n
an=
	n!

5-latek: Dobry wieczor

	(n+1)10		2n		(n+1)10
limn→∞		*		= limn→∞
	2n*2		n10		2*n10

I na tym sie zatrzymalem

Mila:

	1		1		1
=limn→∞[		*(1+		)10]=
	2		n		2

5-latek: Sprawdzilem to dla n=50 i ten mianownik <1 czyli granica tego ciagu =0

Mariusz: Jeśli dobrze bamiętam to twój wniosek będzie warunkiem koniecznym zbieżności szeregu a te dwie przesłanki będą warunkami dostatecznymi zbieżności szeregu

5-latek: Milu a dlaczego wyszla Tobie granica g=0,5 a nie g=0 wedlug twierdzenia ?

5-latek: czesc Adamm Mariusz do szeregow tez sie przyda to co napisales .

Mila: Przeczytaj dokładnie twierdzenie 2. Masz wyciągnąć wniosek.

5-latek:

	an+1		1
wyszlo		=		<1 wiec granica tego ciagu g=0
	an		2

Adamm: Cześć interesują cię dowody, czy same przykłady?

5-latek: Adamm raczej przyklady zebym wiedzial kiedy je zastosowac ewentualnie Dowody to chyba na studiach matematycznych (chociaz moge sie bardzo mylic)

Adamm: nie musisz być na studiach matematycznych żeby coś udowodnić, chociaż tam jest najwięcej tego dowodzenia

Adamm: w każdym razie, tak jak napisał Mariusz, to szeregi http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon13/mon1308.pdf 1 oraz 2 podpunkt to zastosowanie kryteriów d'Alemberta oraz Cauchy'ego do szeregu ∑_n=1^∞ |a_n| i wtedy on jest zbieżny, a co za tym idzie, ∑_n=1^∞ a_n skoro ∑_n=1^∞ a_n jest zbieżny, to spełnia on warunek konieczny, czyli lim_n→∞ a_n = 0 to po prostu taki wniosek z jednych z bardziej podstawowych twierdzeń o szeregach

5-latek: To Adamie z Sierpinskiego ? A w Kuratowskim powinno tez byc chyba ? Jesli bylbys tak mily i podal przyklad na warunek nr 1 tego tweirdzenia ?

Adamm: tak, z Sierpińskiego Kuratowskiego nie czytałem, może jeśli tam mówią o szeregach, to te kryteria i warunek konieczny na pewno są i nie do końca rozumiem "Jesli bylbys tak mily i podal przyklad na warunek nr 1 tego tweirdzenia ?" masz na myśli przykład z tą granicą? np. takie coś a_n=n^kaⁿ gdzie |a|<1 ⁿ√|a_n|=ⁿ√n^k|a|→|a|<1 więc a_n→0

5-latek: Ok.

Mariusz: U Kuratowskiego podstawowe informacje o szeregach są Kuratowskiego można za darmo ściągnąć z sieci (Monografie matematyczne tom 15) i treść tej książki powinna być zrozumiała dla licealisty ponieważ gdy ja chodziłem do szkoły to program z analizy matematycznej (analiza matematyczna nie była wydzielona jako odrębny przedmiot) pokrywał się z treścią tej książki a jestem jeszcze dość młody

5-latek: Witam mam Kuratowskiego .

jc: Mariusz, nawet 10 lat temu było inaczej, a od tego czasu znów niemało się zmieniło.

Mariusz: Ja mogę tylko pisać o latach 1996/1997 − 1999/2000 Wtedy w liceum może wszystkiego co u Kuratowskiego nie było ale w innych średnich już tak np w technikach czy policealnych które dawały tylko zawód