rownania wielomianowe zrozpaczonymatfiz: Znajdź wszystkie pierwiastki równania: 68x⁸ − 257x⁶ − 257x² + 68 = 0. Próbowałam pogrupować wyrazy. Wyszło mi 68(x⁸+1)−257x²(x⁴+1) = 0. Co mam z tym dalej zrobić? Ta potęga 8 mi przeszkadza... Jakieś pomysły?

Maciek: (x − 2) (x + 2) (2 x − 1) (2 x + 1) (17 x⁴ + 8 x² + 17) = 0

zrozpaczonymatfiz: Jak do tego doszedles?

Maciek: wolfram alpha

zrozpaczonymatfiz: A moze ktos ma jakis inny pomysl?

zrozpaczonymatfiz: ?

piotr: Załóżmy, że: a_n, a_n−1,…, a₂, a₁, a₀ są liczbami całkowitymi oraz a_n≠0. Wówczas jeżeli równanie: a_nxⁿ + a_n−1xⁿ⁻¹ +…+ a₂x² + a₁x + a₀ = 0 ma pierwiastek wymierny p/q, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego a₀, a q jest dzielnikiem współczynnika a_n.

Mila: 68x⁸ − 257x⁶ − 257x² + 68 = 0 Wielomian ma całkowite współczynniki. Sprawdzamy czy ma pierwiastki wymierne, które są podzielnikami wyrazu wolnego. (x)=W(−x) W(1)≠0 i w(−1)≠0 W(2)=68*256−257*64−257*4+68=0 i W(−2)=0 Dzielimy W(x) przez x²−4 ( 68x⁸ − 257x⁶ − 257x² + 68) : (x²−4)=68x⁶+15x⁴+60x²−17 −(68x⁸ − 272x⁶) −−−−−−−−−−−−−−−−−−− 15x⁶−257x² −( 15x⁶−60x⁴) −−−−−−−−−−−−−−−− 60x⁴−257x² −( 60x⁴−240x² −−−−−−−−−−−−−−−− −17x²+68 −(−17x²+68) =======0 2)68x⁸ − 257x⁶ − 257x² + 68=(x²−4)*(68x⁶+15x⁴+60x²−17) P(x)=(68x⁶+15x⁴+60x²−17) P(1)=P(−1)≠0 P(17)=P(−17)≠0

	1		1
P(		)=P(−		)=0
	2		2

	1
P(x) podzielny przez (x2−		)
	4

Wykonaj dzielenie i dokończ.

jaceksz73: Czy jest jakieś ułatwienie w szukaniu pierwiastów gdy a_n = a₀? Czy mozna gdzieś znaleźć spisane zasady dotyczące szukania pierwiastów. Czyli jakie liczby podstawiać za x? W tym przypadku było to np.: Zaczynamy od podzielników wyrazu wolnego. Następnie ...... Jeśli wszystkie potęgi x−a są parzyste to jeśli W(x) = 0 to W(−x) = 0. Zatem możemy dzielić przez x² − x₀.² Czy są jakieś zasady kiedy zgadujemy pierwiastki, a kiedy próbujemy przekształcać do uzyskania czynników?

ABC: akurat to wyjściowe równanie jest z klasy tak zwanych równań zwrotnych i można podzielić stronami przez x⁴ i pomocniczą niewiadomą dojść do wyniku

Mila: 1) 68x⁸ − 257x⁶ − 257x² + 68 = 0 /:x⁴ ( x=0 nie spełnia równania)

	257		68
68x4−257x2−		+		=0
	x2		x4

	68		257
68x4+		−257x2−		=0
	x4		x2

	1		1
68*(x4+		)−257*(x2+		)=0
	x4		x2

	1		1
68*[(x2+		)2−2]−257*(x2+		)=0
	x2		x2

	1
x2+		=t, t>0
	x2

68t²−257t−136=0

	8		17
t=−		∉Dr lub t=
	17		4

2)

	1		17
x2+		=
	x2		4

4x⁴−17x²+4=0

	1
x2=		lub x2=4
	2

	1
x∊{±		,±2}
	2

=============

ABC: brawo Mila tak myślałem czy komuś się będzie chciało rozpisać

Mila: Nie zauważyłam wtedy, że to równanie zwrotne. Jednak liczenia jest też dużo. W innych podobnych równaniach "lepsze" są współczynniki i ładnie się liczy.

jaceksz73: Super!

ABC: zgadzam się , tu pewnie autor cwaniak wymnożył sobie przy użyciu programu

Mila: Dwa lata temu na pewno jakiś maturzysta próbowałby , ale teraz posucha. Korona−ferie cały rok.

jaceksz73: Mila czy mógłbyś podać jakieś recepty jaką metodą szukać czynników czy pierwiastków? Może są gdzieś takie praktyczne wskazówki?

ABC: Jacek jest taka książka matematyka o nazwisku Kurlandczyk jak znajdę zdjęcie okładki w necie to ci wrzucę

getin: pierwiastkiem wielomianu trzeciego stopnia typu ABBA jest zawsze liczba x = −1 dowód: Ax³ + Bx² + Bx + A = 0 A*(−1)³ + B*(−1)² + B*(−1) + A = 0 −A + B − B + A = 0 0 = 0

Mila: Jacek To zależy od równania, dzielniki wyrazu wolnego, grupowanie, korzystanie z wzorów skróconego mnożenia do zwijania wyrażeń. Wpisuj równania, będziemy coś doradzać, często jest kilka propozycji od różnych osób pomagających. Nie ma jednej recepty.

getin: Lev Kurlandczyk Wędrówki po krainie nierówności polecam ! Rzeczywiście jest tam sporo o wielomianach

ABC: ja myślałem o tej https://ksiegarnia.pwn.pl/Impresje-matematyczne-Tom-2,68712754,p.html mam to w pdfie, ale kopiowanie jest nielegalne

getin: o, tej akurat nie czytałem ale ją kojarzę jak cały Aksjomat sam jestem autorem jednej z książek Aksjomatu Wykuj swój sukces

ABC: szkoda że nie jesteś autorem tej książki, chętnie bym z nim podyskutował https://www.empik.com/jak-zdac-mature-z-matematyki-nic-nie-potrafiac-strategie-rozwiazywania-zadan-zamknietych,p1136978265,podreczniki-szkolne-p

Mila: Inny sposób: 68x⁸ − 257x⁶ − 257x2 + 68 = 0. Podstawienie: x²=t 68 t⁴−257t³−257t+68=0 Najpierw próbuję całkowite dzielniki liczby 68 t=4 W(4)=68*4⁴−257*4³−257*4+68= =68*(256+61)−257*(64+4)=0 Schemat Hornera: 68 −257 0 −257 68 t=4 68 15 60 −17 0 ================= 68 t⁴−257t³−257t+68=(t−4)*(68t³+15t²+60t−17) (68t³+15t²+60t−17)=0

	1
tu już nie ma całkowitego pierwiastka , ułamkowe do wyboru tylko 2 a mianowicie −±
	4

	1
Pasuje t=
	4

Znowu dzielenie itd Potem podstawienie:

	1
x2=4 lub x2=
	4

========================

jaceksz73: Dziękuję za podpowiedzi odnośnie książek. Po spisie treści wygląda, że Impresje Matematyczne tom II jest dokładnie tym o co prosiłem. Jak mam płacić za przesyłkę to może jeszcze polecicie coś paktycznego z ciągów i granic?

ABC: na jakim poziomie mają być te ciągi i granice?

jaceksz73: Liceum + olimpiada matematyczna

ABC: masz tu coś ode mnie na dobry początek https://megawrzuta.pl/download/16b48b88ae34785a6ef603c7eb9e6544.html

jaceksz73: Dziękuję. Bardzo dobra pozycja.

Mariusz: 68x⁸ − 257x⁶ − 257x² + 68 = 0. x²=t (68t⁴ − 257t³ − 257t + 68 = 0).

	257		257
t4−		t3−		t+1=0
	68		68

	257		66049		66049		257
(t4−2		t3+		t2)−(		t2+		t−1)=0
	136		18496		18496		68

	257		66049		257
(t2−		t)2−(		t2+		t−1)=0
	136		18496		68

	257		y
(t2−		t+		)2−
	136		2

	66049		257		257		y2
((y+		)t2+(−		y+		)t+		−1)=0
	18496		136		68		4

2572		66049
	(y−2)2−(y2−4)(y+		)=0
1362		18496

	2572		66049
(y−2)(		(y−2)−(y+2)(y+		))=0
	1362		18496

y=2

	257		36992+66049
(t2−		t+1)2−		t2=0
	136		18496

	257		36992+66049
(t2−		t+1)2−		t2=0
	136		18496

	257		103041
(t2−		t+1)2−		t2=0
	136		18496

sqrt(10'30'41)=321 9 130|62*2 124 6 641|641*1 641 0 sqrt(1'84'96)=136 1 84|23*3 69 1596|266*6 1596 0

	257		321
(t2−		t+1)2−(		t)2=0
	136		136

	257		321		257		321
(t2−		t−		t+1)(t2−		t+		t+1)=0
	68		136		136		136

	17		8
(t2−		t+1)(t2+		t+1)=0
	4		17

Eta: