:P Just: W urnie jest 5 kul białych i 3 czarne. Losujemy bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul czarnych?

yht:

	8 2		8!		6!*7*8		7*8
Ω =		=		=		=		= 28
			2!*6!		2!*6!		2

	3 2		3!		2!*3		3
A =		=		=		=		= 3
			2!*1!		2!*1		1

	A
P =
	Ω

	3
P =
	28

Just: a co oznaczają te wykrzykniki? bo nie bardzo rozumiem

the foxi: 1010

Satan: Just, jest to tak zwana silnia. Zachęcam do poczytania o niej

PW: Można rozwiązać nie znając dwumianu Newtona i silni. Zdarzenia elementarne to 2−elementowe podzbiory tworzone ze zbioru 8−elementowego. Jest ich |Ω| = 7+6+5+4+3+2+1=28 Liczymy to następująco (aby uniknąć dwukrotnego liczenia tych samych podzbiorów {a,b} i {b,a} liczymy zapisując na pierwszym miejscu mniejszą liczbę, choć kolejność zapisu nie ma znaczenia): • z kulą nr 1 można tworzyć 7 dwuelementowych podzbiorów {1,n}, n = 2, 3, 4 ,5 6, 7, 8 • z kulą nr 2 można tworzyć 6 dwuelementowych podzbiorów {2,m}, m = 3, 4, 5, 6, 7, 8 • z kulą nr 3 można tworzyć 5 dwuelementowych podzbiorów {3,p}, p = 4, 5, 6, 7, 8 • z kulą nr 4 można tworzyć 4 dwuelementowe podzbiory {4,r}, r = 5, 6, 7, 8 • z kulą nr 5 można tworzyć 3 dwuelementowe podzbiory {5,s}, s = 6, 7, 8 • z kulą nr 6 można tworzyć 2 dwuelementowe podzbiory {6,t}, t = 7, 8 • z kulą nr 7 można utworzyć 1 dwuelementowy podzbiór {7,8}. Podobnie liczymy |A| = 2+1 = 3 • z czarną kulą nr 1 można utworzyć 2 dwuelementowe podzbiory, w których obie kule są czarne: {czarna 1, czarna 2} lub {czarna 1, czarna 3} • z czarną kulą nr 2 można utworzyć 1 dwuelementowy podzbiór, w których obie kule są czarne: {czarna 2, czarna 3}. Wszystkie zdarzenia elementarne należy uznać za jednakowo prawdopodobne, a więc na mocy twierdzenia zwanego klasyczną definicją prawdopodobieństwa

	|A|		3
P(A) =		=		.
	|Ω|		28

Jerzy: Można też obyć się bez silni i dwumianu Newtona licząc tak: |Ω| = 8*7 = 56 |A| = 3*2 = 6

	6		3
P(A) =		=
	56		28

PW: Oczywiście, ale (dla początkujących) trzeba wtedy dodać, że jako zdarzenia elementarne traktujemy uporządkowane pary − trzeba sobie wyobrazić, że kule są ponumerowane i wynik ciągnięcia 2 kul zapisujemy w kolejności losowania − jako uporządkowaną parę liczb. Wtedy każdy możliwy wynik losowania jest liczony podwójnie, i prawdopodobieństwo jest takie samo. To wbrew pozorom dość trudne teoretycznie, weźmy np. losowanie trzech kul − wytłumaczenie dlaczego to jest wszystko jedno (zbiory czy ciągi jako zdarzenia elementarne) niechybnie prowadzi do… silni.