Zbieżność ciągu rekurencyjnego. adamoo: Niech ciąg Xn będzie dany wzorem Xn+1 = √18+3Xn, X1=3. Zbadać jego zbieżność i ewentualnie policzyć granicę.

kochanus_niepospolitus: x₂ = √18 + 9 = √27 = 3√3 x₃ = √18 + 9√3 = √9(2+√3 = 3√2+√3 x₄ = 3√2+√2+√3

adamoo: No dobrze, ale co mi to daje?

g: Zbadamy X_n+1 − X_n, a właściwie X_n+1² − X_n², bo jest łatwiej i interesuje nas tylko czy to jest większe czy mniejsze od zera. R = X_n+1² − X_n² = 18 + 3X_x − X_n² R zeruje się dla X_n=6. Dla X_n<6 R>0, czyli ciąg rośnie. Zatem ciąg jest zbieżny i ma granicę 6.

'Leszek: Granica : g = √ 18 + 3g ⇔ g² −3g −18 = 0 ⇒ Δ= 81 , g₁ = (3−9)/2 = −6 lub g₂ = 6 , Ciag jest rosnacy , jak pokazal kolega .....kochanus ....., czyli jest ograniczony i granica g= 6

Maciek: √18+3√18+3√18+3...=x √18+3x=x 18+3x=x² x²−3x−18=0 (x−6)(x+3)=0 x=6