Udowodnij, że:
Madzia: Udowodnij, że:
a) (a+b)(1+ab)≤(1+a2)(1+b2)
b) abc = 1 ⇒ (1+a)(1+b)(1+c) ≥ 8
c) a+b=1 ⇒ (1+1a)(1+1b) ≥ 9
12 gru 18:00
jc:
(1+ab)2 = [(1,a)o(1,b)]2 ≤ (1+a2)(1+b2)
(a+b)2 = [(a,1)o(1,b)]2 ≤ (1+a2)(1+b2)
(1+ab)2(a+b)2 ≤ (1+a2)2(1+b2)2
(1+ab)(a+b) ≤ |(1+ab)(a+b)| ≤(1+a2)(1+b2)
12 gru 18:30
PW: c) Zakładam, że a,b>0
| | 1 | | 1 | | a+1 | | b+1 | | 2a+b | | 2b+a | |
(1+ |
| )(1+ |
| )=( |
| )( |
| )=( |
| )( |
| )= |
| | a | | b | | a | | b | | a | | b | |
| | a | | b | | a | | b | |
=(2+ |
| )(2+ |
| )=4+2( |
| + |
| )+1 ≥ 4 + 2.2 +1 = 9. |
| | b | | a | | b | | a | |
Korzystamy ze znanej nierówności
12 gru 18:40
Madzia: A co to znaczy [(1,a)o(1,b)]2 ?
12 gru 19:08
PW: Iloczyn skalarny wektorów (i dalej jc stosuje jego własności). Jeżeli nie umiesz tego
jeszcze, to trzeba szukać innego rozwiązania.
12 gru 19:13
jc: Iloczyn skalarny to podpowiedź.
(1+a2)(1+b2)−(1+ab)2 = (a−b)2 ≥ 0
(1+a2)(1+b2)−(a+b)2 = (1−ab)2 ≥ 0
12 gru 19:26
Madzia: To ja nie miałam jeszcze iloczynów skalarnych
ale dziękuję
12 gru 19:32
jc: (b)
Dla nieujemnych a,b,c jest prosto.
(1+a)2 ≥ 4a
(1+b)2 ≥ 4b
(1+c)2 ≥ 4c
[(1+a)(1+b)(1+c)]2 ≥ 64 abc = 64
(1+a)(1+b)(1+c) ≥ 8
12 gru 19:36
Madzia: Dziękuję bardzo! <3
13 gru 19:45