Zbieżność ciągu
Kaladin: Niech an będzie ciągiem ograniczonym, spełniającym zależność:
an+1≥ an−1/(2n)
Mam wykazać, że ciąg jest zbieżny.
Jakieś wskazówki ?
12 gru 17:23
jc: Przecież każdy ciąg spełnia powyższą nierówność, w szczególności rozbieżny,
np. an=(−1)n lub an = n.
12 gru 18:00
Kaladin: Źle zapisałam, z lewej strony nierówności ma być a (n+1) w indeksie dolnym, czyli n+1 wyraz
ciągu, a nie an+1
12 gru 18:27
jc: Mój drugi przykład nie na temat. Teraz wygląda to lepiej.
12 gru 18:34
Kaladin: ... a ja nadal nie wiem jak to rozwiązać ?
12 gru 18:46
jc:
an − 1/2n ≤ an+1
an − 1/2n − 1/2n ≤ an+1 − 1/2n
an − 2/2n ≤ an+1 − 2/2n+1
ciąg an − 2/2n jest monotoniczny i ograniczy, a więc zbieżny.
Ciąg an jest sumą dwóch ciągów zbieżnych.
an = (an − 2/2n) + 2/2n+1
12 gru 19:22
Kaladin: Dlaczego ciąg an−2/2n jest monotoniczny ?
12 gru 19:41
jc: Mówi o tym 3 linijka od góry.
12 gru 19:47