Metoda iteracji prostej. notWoMan: Cześć, próbuję rozgryźć metodę iteracji prostych. Mam trzy równania: 0.75x + 2.82y −0.33z = 4.505 3.45x + 1.33y − 0.55z = 6.031 −0.76x + 1.20y + 2.44z = 10.132 ,które mogę zapisać w postaci macierzy: { 0.75 2.82 −0.33 } C = { 3.45 1.33 −0.55 } { −0.76 1.20 2.44 } {4.505} D = {6.031} {10.132} {x} X = {y} {z} Układ tej macierzy wyrażę wzorem CX=D Znalazłem taką definicję: Warunkiem koniecznym i wystarczającym zbieżności procesu iteracyjnego określonego wzorem X_n+I = CX_n + D przy dowolnym wektorze początkowym X₀ i dowolnym danym wektorze D jest, aby wszystkie wartości własne macierzy C były co do modułu mniejsze od jedności. Czy ktoś z Was rozumie ten metodę? Dodam, że metodą Gaussa i innymi podobnymi już to rozwiązałem i wszystko mi wychodzi. Nie mogę jedynie zrozumieć tego.

g: Coś z tym wzorem iteracyjnym jest nie tak, bo nieprawdziwe jest równanie X = CX+D.

g: Poczytałem tutaj: https://pl.wikipedia.org/wiki/Metoda_iteracji i ten wzór iteracyjny to będzie chyba coś takiego: X_n+1 = X_n + A(CX_n − D) = (I+AC)X_n − AD gdzie A to macierz diagonalna odpowiednio dobrana tak, żeby wartości własne macierzy (I+AC) były co do modułu mniejsze od jedności.

Pytający: notWoMan, pewnie chodzi Ci o metodę przedstawioną w punkcie 1.1 tu: https://hektor.umcs.lublin.pl/~beatas/met_iter.pdf Zauważ, że w równaniu iteracyjnym występują tam macierz α i wektor β, nie natomiast występujące w pierwotnym równaniu macierz A i wektor b.

notWoMan: Korzystając linku, który wstawił @Pytający zrobiłem następujące działania: Przekształciłem równania do postaci: xn = β_n + a_i1x₁ + ... + a_ijx_n, otrzymałem trzy równania: β₁=^4,505_0,75=6 β₂=^6,031_1,33=4,53 β₃=^10,132_2,44=4,15 x1=(6+2,82_x2−0,33_x3) x2=(4,53+3,45_x1−0,44_x3) x1=(4,15−0,76_x1+1,20{x2}) , następnie mogę zacząć wyznaczać kolejne iteracje używając wzoru: x^k+1=β+a*x^k, ale nie jestem pewien czy wyznaczyłem poprawnie współczynniki x1, x2 i x3. Czy robię to dobrze?

Pytający: Tych równań na x_i nie musisz wyznaczać, są tam raczej jako uzasadnienie dlaczego tak a nie inaczej wyglądają poszczególne współczynniki. Powinno wyjść: β = 6.0067 4.5346 4.1525 α = 0 −3.7600 0.4400 −2.5940 0 0.4135 0.3115 −0.4918 0 Jednak: eig(α) = 3.1164 −3.1084 −0.0080 Są to wartości własne macierzy α, jak widać nie wszystkie są mniejsze od 1 co do modułu, stąd dla danego układu równań ta metoda iteracyjna nie jest zbieżna dla dowolnego x₀. (jeśli się nie mylę )

notWoMan: W jaki sposób obliczyłeś te wartości? α = 0 −3.7600 0.4400 −2.5940 0 0.4135 0.3115 −0.4918 0 Nie rozumiem.

Pytający:

	−aij
αij=		dla i≠j,
	aii

α_ij=0 dla i=j Przykładowo:

	−2.82
α12=		=−3.76
	0.75

notWoMan: Ok, a jakie powinny być następne kroki, zakładając, że macierz spełnia ten wymóg? Wiecie może jak nazywa się "Metoda iteracji prostej" po angielski, bo w naszym języku nie mogę niczego konkretnego znaleźć. Fraza "simple integration method" nie jest prawidłowa, tak samo jak "straight integration method".

Pytający: Jak metoda jest zbieżna, to po prostu obliczasz kolejne przybliżenia iksa: x_k+1=β+αx_k Warunek stopu może być różny, np. osiągnięcie maksymalnej liczby iteracji czy spełnienie nierówności: ||x_k+1−x_k||<ε, gdzie ||()|| to jakaś wybrana norma, natomiast ε wymagana dokładność. Po angielsku: integration − całkowanie iterative − iteracyjny https://en.wikipedia.org/wiki/Iterative_method A metoda, o której mówimy (nazywana w podesłanym przeze mnie poprzednio linku "metoda iteracji prostych") to tak naprawdę metoda Jacobiego: https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi_method http://mathworld.wolfram.com/JacobiMethod.html https://www3.nd.edu/~zxu2/acms40390F12/Lec-7.3.pdf

notWoMan: Dziękuje Ci bardzo. Nawet nie wiesz jak mi pomogłeś. https://goo.gl/G8UErf

Pytający: Proszę bardzo! Acz myślę, że żaden z nas nie ma takich paznokci.