równanie liniowe algebra: Wiecie może jaki jest wzór ogólny na (x,y,z) dla ax + by + cz = d? Wiem, że dla ax + by = c jest to

	b
x = xo +		t, t∊Z
	(a,b)

	a
y = yo −		t, t∊Z
	(a,b)

algebra: Podzieli się ktoś wiedzą?

Pytający: Czy chodzi Ci po prostu o przejście z równania ogólnego na równanie parametryczne odpowiednio prostej i płaszczyzny? Równanie ogólne prostej: Ax+By+C=0 Prosta ta jest równoległa do wektora [B,−A], stąd równanie parametryczne to: x=x₀+Bt y=y₀−At, t∊ℛ Równanie ogólne płaszczyzny: Ax+By+Cz+D=0 Równanie parametryczne płaszczyzny to: [x,y,z]=p₀+s*u+t*v, gdzie: p₀=[x₀,y₀,z₀], s,t∊ℛ, u=[u₁,u₂,u₃],v=[v₁,v₂,v₃] to liniowo niezależne wektory równoległe to tej płaszczyzny. Inaczej zapisane: x=x₀+su₁+tv₁ y=y₀+su₂+tv₂ z=z₀+su₃+tv₃ Wektory u, v można np. wybrać spośród wektorów: p=[B,−A,0] r=[0,C,−B] q=[−C,0,A] (przykładowo dla B=0 nie można wybrać wektorów p, r, bo są one wtedy liniowo zależne, trzeba by wybrać p, q lub r, q).

algebra: Na zajęciach rozwiązywaliśmy równania postaci ax + by =c przez wyznaczenie jakiegoś konkretnego rozwiązania, a potem podstawienie do wzoru, który podałem. Chciałbym teraz móc rozwiązać takie równanie z dodatkową (trzecią) zmienną, tj. równania postaci ax + by + cz = d Mogę wyliczyć jakieś konkretne rozwiązanie tego równania, ale żeby podać ogólny wzór na x,y,z muszę mieć wzór. Czemu w swoich wzorach na x,y czy też x,y,z nie uwzględniasz dzielenia przez nwd, które podałem?

Pytający: Czemu nie uwzględniam dzielenia przez nwd? Bo jeśli idzie o prostą/płaszczyznę, to współczynniki przy parametrze muszą jedynie zachować odpowiednie proporcje. Równania: x=x₀+Bt y=y₀−At, t∊ℛ wyznaczają tę samą prostą, co np. równania: x=x₀+2Bt y=y₀−2At, t∊ℛ wynika to z tego, że t∊ℛ. Jednak te równania dla t∊ℤ nie dają już tych samych rozwiązań. W drugim przypadku co drugie rozwiązanie występujące w pierwszym przypadku będzie pominięte. Swoją drogą nie zgadłem, że (a,b) w Twoim poście to nwd(a,b). Warto było o tym napomknąć, tak samo o tym, że mowa o rozwiązaniach całkowitych (można by się domyślić, ale nie trzeba). Wracając do zadania − w zasadzie chodzi Ci niemal o to, o czym pisałem w poprzednim poście. Interesują Cię punkty (rozwiązania) o współrzędnych całkowitych leżące na opisanej danym równaniem płaszczyźnie. Zatem dla równania diofantycznego: Ax+By+Cx+D=0, gdzie: A,B,C,D∊ℤ mającego rozwiązanie p₀=[x₀,y₀,z₀]∊ℤ³ wydaje mi się, że szukane przez Ciebie wzory przyjmą taką postać:

	s[B,−A,0]+t[0,C,−B]+u[−C,0,A]
[x,y,z]=p0+		, gdzie s,t,u∊ℤ
	nwd(A,B,C)

Czyli:

⎧	x=x0+bs−cu
⎨	y=y0−as+ct
⎩	z=z0−bt+au, gdzie:

	A		B		C
s,t,u∊ℤ, a=		, b=		, c=
	nwd(A,B,C)		nwd(A,B,C)		nwd(A,B,C)

algebra: Rzeczywiście zapomniałem dodać, że interesują mnie rozwiązania całkowite. Na zajęciach NWD(a,b) oznaczamy jako (a,b) i myślałem, że to standard. W każdym razie, serdeczne dzięki za odpowiedź!

Adamm: (a, b) − tak faktycznie się oznacza, ale w liceum itd. bardziej obowiązuje zapis NWD(a, b)