Udowodnij, że arctgx i arcsinx nie są funkcjami wielomianowymi. xxx: Udowodnij, że arcsinx i arctgx nie są funkcjami wielomianowymi. Jak to zrobić? Np: jak mam sinx albo cosx jest prosta sprawa, ponieważ wystarczy napisać, że funkcja wielomianowa ma skończoną ilość pierwiastków natomiast sinx i cosx ma nieskończoną ilość. To samo z logarytmem. Obliczam n+1 pochodną i wniosek jest taki, że funkcja wielomianowa dla n+1 pochodnej jest równa 0. Nie wiem kompletnie jak zabrać się za arcsinx arctgx.

Benny: Jak rozwiniesz w szereg to pokażesz, że ma nieskończony stopień.

Pytający: Funkcja wielomianowa nie może być ograniczona jednocześnie z góry i z dołu, a arcsin(x) i arctg(x) są ograniczone z góry i z dołu. Acz nie wiem, czy to wystarczający dowód.

Adamm: załóżmy że arctgx da się tak przedstawić arctgx→π/2 przy x→∞, skąd wniosek arctgx=π/2 dla dowolnego x sprzeczność teraz załóżmy to samo dla arcsinx, dla x∊[−1;1] f'(x) nie istnieje dla x=1 więc arcsinx nie może być wielomianem

xxx: Dziękuje bardzo.